Dubbi studio di funzione
Salve a tutti, sono nuovo, e mi chiamo Stefano! Frequento l'Università a Milano, sponda Bicocca e la facoltà di Geologia.
Avrei qualche dubbio su un paio di cose del compito generale che ho provato l'ultima volta, inizia a dirne una poi con calma se non spiace a nessuno proverò a postare pure le altre. Intanto grazie a chiunque risponda.
Esercizio 2:
"Studiare la funzione $f(x)= x/ (x-2)^2$ . (insieme di definizione e limiti agli estremi, eventuali asintoti, derivata e suo segno, invervalli di monotonia, eventuali punti di massimo e minimo locale, grafico qualitativo)."
Questo è il testo, prima passaggio insieme di definzione, il denominatore deve essere diverso da zero quindi l'unica $x$ che annulla la f è x=2, quindi $D= R - (2)$. Gli estremi diventano $+-$infinito, e $2^+-$ (da dx e da sx). Faccio i limiti che tendono a $+-$infinito e se non sbaglio tendono entrambi a 0 (gerarchia dei limiti), ciò significa che esiste un asintoto orizzontale (di conseguenza non quello obliquo), ora sorge il mio dubbio, se faccio il limite che tende a due si annulla la funzione con il metodo della sostituzione allora applico De l'hopital ma il denominatore passa alla 4 e non cambia nulla, cosa sbaglio e come vado avanti?
Grazie mille, veramente scusate se a voi queste cose sembrano banali, spero di non aver sbagliato sezione.
Buona giornata
Stealbi
Avrei qualche dubbio su un paio di cose del compito generale che ho provato l'ultima volta, inizia a dirne una poi con calma se non spiace a nessuno proverò a postare pure le altre. Intanto grazie a chiunque risponda.
Esercizio 2:
"Studiare la funzione $f(x)= x/ (x-2)^2$ . (insieme di definizione e limiti agli estremi, eventuali asintoti, derivata e suo segno, invervalli di monotonia, eventuali punti di massimo e minimo locale, grafico qualitativo)."
Questo è il testo, prima passaggio insieme di definzione, il denominatore deve essere diverso da zero quindi l'unica $x$ che annulla la f è x=2, quindi $D= R - (2)$. Gli estremi diventano $+-$infinito, e $2^+-$ (da dx e da sx). Faccio i limiti che tendono a $+-$infinito e se non sbaglio tendono entrambi a 0 (gerarchia dei limiti), ciò significa che esiste un asintoto orizzontale (di conseguenza non quello obliquo), ora sorge il mio dubbio, se faccio il limite che tende a due si annulla la funzione con il metodo della sostituzione allora applico De l'hopital ma il denominatore passa alla 4 e non cambia nulla, cosa sbaglio e come vado avanti?
Grazie mille, veramente scusate se a voi queste cose sembrano banali, spero di non aver sbagliato sezione.
Buona giornata
Stealbi
Risposte
"Stealbi":
...se faccio il limite che tende a due si annulla la funzione con il metodo della sostituzione allora applico De l'hopital ma il denominatore passa alla 4 e non cambia nulla, cosa sbaglio e come vado avanti?
ciao e benvenuto nel forum
Il teorema di De l'Hopital non serve perchè i tuoi limiti ds e dx non presentano forme indeterminate, ma tendono all'infinito. x=2 è un asintoto verticale per la tua funzione.
"piero_":
[quote="Stealbi"]...se faccio il limite che tende a due si annulla la funzione con il metodo della sostituzione allora applico De l'hopital ma il denominatore passa alla 4 e non cambia nulla, cosa sbaglio e come vado avanti?
ciao e benvenuto nel forum
Il teorema di De l'Hopital non serve perchè i tuoi limiti ds e dx non presentano forme indeterminate, ma tendono all'infinito. x=2 è un asintoto verticale per la tua funzione.[/quote]
Grazie! Che scemo sono? $f(x)= 2/(2-2)^2$ è $2/0$ e cioè +infinito. Grazie!
Ricorda che $n/0=infty$ per ogni n finito ($ninRR$)
Le forme indeterminate più frequenti
$0/0$; $infty/infty$; $0*infty$; $+infty-infty$; $infty^0$; $0^0$; $1^infty$
Il grafico della tua funzione
in verde l'asintoto verticale x=2, mentre l'orizzontale è l'asse delle ascisse (come hai detto tu)
[asvg]axes();
plot("x/(x-2)^2");
stroke="green";
strokewidth=1;
line([2,-6],[2,6]);[/asvg]
Le forme indeterminate più frequenti
$0/0$; $infty/infty$; $0*infty$; $+infty-infty$; $infty^0$; $0^0$; $1^infty$
Il grafico della tua funzione
in verde l'asintoto verticale x=2, mentre l'orizzontale è l'asse delle ascisse (come hai detto tu)
[asvg]axes();
plot("x/(x-2)^2");
stroke="green";
strokewidth=1;
line([2,-6],[2,6]);[/asvg]
"Stealbi":
$f(x)= 2/(2-2)^2$ è $2/0$ e cioè +infinito. Grazie!
prego.
sia per il limite destro che sinistro trovi $2/0^+=+infty$
Il mio asintoto orizzontale sarebbe quindi y=0 giusto? E nel tuo grafico la funzione interseca l'asse è giusto?
Intanto grazie mille, veramente!
Intanto grazie mille, veramente!
"piero_":
[quote="Stealbi"]$f(x)= 2/(2-2)^2$ è $2/0$ e cioè +infinito. Grazie!
prego.
sia per il limite destro che sinistro trovi $2/0^+=+infty$[/quote]
Si si grazie sia dx che sx!
sì per asintoto orizzontale e sì per l'intersezione nell'origine
Scusa l'ignoranza ma non capisco perchè intersica all'origine se ha l'asintoto orizzontale.
Grazie!
Grazie!
Una funzione può avere asintoti e attraversare gli stessi in uno o più punti. Importante è che, come nel nostro caso (asintoto orizzontale), il limite all'infinito tenda ad un valore finito.
Geometricamente vuole dire che la distanza tra la funzione e l'asintoto è infinitamente piccola per $x->infty$.
Per trovare le intersezioni con gli assi, basta risolvere il sistema tra l'equazione dell'asse e la funzione.
Geometricamente vuole dire che la distanza tra la funzione e l'asintoto è infinitamente piccola per $x->infty$.
Per trovare le intersezioni con gli assi, basta risolvere il sistema tra l'equazione dell'asse e la funzione.
"piero_":
Una funzione può avere asintoti e attraversare gli stessi in uno o più punti. Importante è che, come nel nostro caso (asintoto orizzontale), il limite all'infinito tenda ad un valore finito.
Geometricamente vuole dire che la distanza tra la funzione e l'asintoto è infinitamente piccola per $x->infty$.
Per trovare le intersezioni con gli assi, basta risolvere il sistema tra l'equazione dell'asse e la funzione.
Tradotto sostituisco y=0 e x=0 nella f(x) per trovare rispettivamente intersezioni con l'asse x e poi y, giusto??
Grazie mille!
Avrei qualche altro dubbio.
giusto.
Chiedi pure.
Chiedi pure.
1)Intervalli di monotonia: trovo praticamente dove è positiva la funzione, insomma "esiste" la funzione, e lo faccio studiando denominatore e numeratore (in questo caso) quando sono positivi e quando negativi (utlizzo lo "schemino" non so se lo usate anche voi), in questo caso il numeratore è negativo fino a zero e positivo da lì in poi, mentre il denominatore è SEMPRE positivo (per via del $^2$ giusto?) quindi la $f(x)$ è negativa fino all'origine e positiva da lì in poi. Tradotto nel grafico cancello dove è negativa "sopra" e dov'è positiva "sotto". E' giusto?
Ma gli intervalli di monotonia si riferisco all'asse x o y? All'asse x vero? Grazie.
2)Gli eventuali punti di massimo e minimo locale oltre che studiare derivata e suo segno lo faccio tutto con $f'(x)$ vero? Cioè faccio la derivata e poi studio ancora con lo "schemino", ma stavolta trovo dove CRESCE e dove DECRESCE. Giusto?
Grazie ancora. Davvero!
Ma gli intervalli di monotonia si riferisco all'asse x o y? All'asse x vero? Grazie.
2)Gli eventuali punti di massimo e minimo locale oltre che studiare derivata e suo segno lo faccio tutto con $f'(x)$ vero? Cioè faccio la derivata e poi studio ancora con lo "schemino", ma stavolta trovo dove CRESCE e dove DECRESCE. Giusto?
Grazie ancora. Davvero!
Scusami se sarò un po' lento con le risposte, ma la connessione è un po' lenta.
dopo
Il campo di esistenza (dominio) della funzione va fatto all'inizio.
Quello che hai fatto tu è lo studio del segno funzione (va bene)
giusto
riguardati la definizione di monotonia, poi dimmi cosa hai capito
"Stealbi":
1)Intervalli di monotonia:
dopo
"Stealbi":
...trovo praticamente dove è positiva la funzione, insomma "esiste" la funzione,
Il campo di esistenza (dominio) della funzione va fatto all'inizio.
Quello che hai fatto tu è lo studio del segno funzione (va bene)
"Stealbi":
...e lo faccio studiando denominatore e numeratore (in questo caso) quando sono positivi e quando negativi (utlizzo lo "schemino" non so se lo usate anche voi), in questo caso il numeratore è negativo fino a zero e positivo da lì in poi, mentre il denominatore è SEMPRE positivo (per via del $^2$ giusto?) quindi la $f(x)$ è negativa fino all'origine e positiva da lì in poi. Tradotto nel grafico cancello dove è negativa "sopra" e dov'è positiva "sotto". E' giusto?
giusto
"Stealbi":
Ma gli intervalli di monotonia si riferisco all'asse x o y? All'asse x vero?
riguardati la definizione di monotonia, poi dimmi cosa hai capito
"piero_":
Scusami se sarò un po' lento con le risposte, ma la connessione è un po' lenta.
[quote="Stealbi"]1)Intervalli di monotonia:
dopo
"Stealbi":
...trovo praticamente dove è positiva la funzione, insomma "esiste" la funzione,
Il campo di esistenza (dominio) della funzione va fatto all'inizio.
Quello che hai fatto tu è lo studio del segno funzione (va bene)
"Stealbi":
...e lo faccio studiando denominatore e numeratore (in questo caso) quando sono positivi e quando negativi (utlizzo lo "schemino" non so se lo usate anche voi), in questo caso il numeratore è negativo fino a zero e positivo da lì in poi, mentre il denominatore è SEMPRE positivo (per via del $^2$ giusto?) quindi la $f(x)$ è negativa fino all'origine e positiva da lì in poi. Tradotto nel grafico cancello dove è negativa "sopra" e dov'è positiva "sotto". E' giusto?
giusto
"Stealbi":
Ma gli intervalli di monotonia si riferisco all'asse x o y? All'asse x vero?
riguardati la definizione di monotonia, poi dimmi cosa hai capito
[/quote]Trranquillo, grazie mille ancora!! Mmmh basta così, ho svolto tutti i punti se non sbaglio!
Grazie!
Gli intervalli di monotonia sono quelli in cui la funzione cresce o decresce (studio del segno della derivata prima)
qui sotto un link nel sito per un utile "riassuntino"
riepilogo studio funzione
qui sotto un link nel sito per un utile "riassuntino"
riepilogo studio funzione
Ok allora dopo provo a svolgerla su un foglio di carta, poi posso upparla qui sul forum per farti vedere se ho fatto giusto?
Grazie mille per la disponibilità!
Grazie mille per la disponibilità!
Ehi ho provato a risolverlo, ci sono più o meno riuscito, ho solo un paio di dubbi:
1)una volta che ho lo "schemino" con massimo e minimo locali, segno della derivata etc, come lo "metto" sul grafico?
2)ho dei dubbi sui punti di interesezione, come faccio? Ho provato a guardare l'esempio del link che mi hai dato ma non ci ho mica capito molto.
Grazie ancora!
1)una volta che ho lo "schemino" con massimo e minimo locali, segno della derivata etc, come lo "metto" sul grafico?
2)ho dei dubbi sui punti di interesezione, come faccio? Ho provato a guardare l'esempio del link che mi hai dato ma non ci ho mica capito molto.
Grazie ancora!
"Stealbi":
1)una volta che ho lo "schemino" con massimo e minimo locali, segno della derivata etc, come lo "metto" sul grafico?
dove la derivata prima è positiva, la funzione è monotona crescente
dove la derivata prima è negativa, la funzione è monotona decrescente
Geometricamente la derivata in un punto rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente alla curva in quel punto.
Tale retta formerà un angolo acuto con l'asse delle ascisse se il coefficiente angolare è positivo e la funzione sarà crescente;
formerà un angolo ottuso con l'asse delle ascisse se il coefficiente angolare è negativo e la funzione sarà decrescente.
"Stealbi":
2)ho dei dubbi sui punti di interesezione, come faccio? Ho provato a guardare l'esempio del link che mi hai dato ma non ci ho mica capito molto.
Per le intersezioni con gli assi devi fare il sistema tra la tua funzione e l'equazione dell'asse.
Analogamente per trovare gli eventuali punti in cui la tua curva attraversa l'asintoto devi fare un sistema tra la tua funzione e l'equazione dell'asintoto.
"piero_":
[quote="Stealbi"]1)una volta che ho lo "schemino" con massimo e minimo locali, segno della derivata etc, come lo "metto" sul grafico?
dove la derivata prima è positiva, la funzione è monotona crescente
dove la derivata prima è negativa, la funzione è monotona decrescente
Geometricamente la derivata in un punto rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente alla curva in quel punto.
Tale retta formerà un angolo acuto con l'asse delle ascisse se il coefficiente angolare è positivo e la funzione sarà crescente;
formerà un angolo ottuso con l'asse delle ascisse se il coefficiente angolare è negativo e la funzione sarà decrescente.
"Stealbi":
2)ho dei dubbi sui punti di interesezione, come faccio? Ho provato a guardare l'esempio del link che mi hai dato ma non ci ho mica capito molto.
Per le intersezioni con gli assi devi fare il sistema tra la tua funzione e l'equazione dell'asse.
Analogamente per trovare gli eventuali punti in cui la tua curva attraversa l'asintoto devi fare un sistema tra la tua funzione e l'equazione dell'asintoto.[/quote]
Ok su quello ci sono, ma non capisco come posso capire il grafico da queste informazioni, in questo esempio so che è negativo prima di -2 e dopo +2 all'interno di questo intervallo invece è positiva, ora che lo so cosa me ne faccio?
(Da questo ottengo anche che -2 e +2 sono punti di minimo e massimo locale)
E poi ok faccio il sistema, ma non so come andare avanti!!!
procediamo con ordine.
Dopo avere trovato il dominio, studiato il segno di funzione e trovate le intersezioni con gli assi possiamo tracciare il seguente grafico
[asvg]axes();
line([2,-6],[2,6]);
stroke="yellow";fill="yellow";
rect([-6,0],[0,6]);rect([0,-6],[6,0]);
stroke="black";
axes();
dot([0,0]);
marker="arrow";
stroke="green";
line([-5.5,-0.5],[-4.6,-0.5]);line([1.5,4],[1.5,5]);line([2.5,5],[2.5,4]);line([4.6,0.5],[5.5,0.5]);[/asvg]
le freccine verdi indicano l'andamento della funzione in prossimità degli asintoti
Dopo avere trovato il dominio, studiato il segno di funzione e trovate le intersezioni con gli assi possiamo tracciare il seguente grafico
[asvg]axes();
line([2,-6],[2,6]);
stroke="yellow";fill="yellow";
rect([-6,0],[0,6]);rect([0,-6],[6,0]);
stroke="black";
axes();
dot([0,0]);
marker="arrow";
stroke="green";
line([-5.5,-0.5],[-4.6,-0.5]);line([1.5,4],[1.5,5]);line([2.5,5],[2.5,4]);line([4.6,0.5],[5.5,0.5]);[/asvg]
le freccine verdi indicano l'andamento della funzione in prossimità degli asintoti
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