Dubbi serie numerica

[lucatrix]

Premetto che per disgrazia mia le serie non sono proprio pane per i miei denti.
Detto questo nel compito avevo questa serie

$ sum_(n = 1)^(infty)n^a/(sqrt(1+3/n^3)-1) $

dividendo e moltiplicando il denominatore per $ 3/n^3 $ ottengo che $ (sqrt(1+3/n^3)-1)/(3/n^3) rarr 1/2 $ perciò la mia serie diventa $ sum_(n = 1)^(infty)n^a/(1/2*3/n^3) $

ora il mio professore dice che questa serie si comporta come

$ sum_(n = 1)^(infty)(2n^a)/(3n^3)=sum_(n = 1)^(infty)2/3*1/n^(3-a) $

qualcuno mi spiega come ha fatto a scegliere questa serie per il confronto?

[The_Mad_Hatter]

"lucatrix":
ora il mio professore dice che questa serie si comporta come

$ sum_(n = 1)^(infty)(2n^a)/(3n^3)=sum_(n = 1)^(infty)2/3*1/n^(3-a) $

qualcuno mi spiega come ha fatto a scegliere questa serie per il confronto?

Mmmm beh, il $2/3$ è ovviamente una costante che puoi pure portare fuori, cosa ti rimane?
$n^a/n^3$

Per le proprietà delle potenze, $n^a = 1/n^(-a)$, quindi:
$n^a/n^3 = 1/(n^(-a)*n^3)$

banalmente, ancora una volta per le proprietà delle potenze $n^3*n^(-a) = n^(3-a)$.

Tutto chiaro?

Quindi praticamente la serie non l'ha scelta per il confronto, ma sono proprio la stessa cosa!

[lucatrix]

"The_Mad_Hatter":[quote="lucatrix"]
ora il mio professore dice che questa serie si comporta come

$ sum_(n = 1)^(infty)(2n^a)/(3n^3)=sum_(n = 1)^(infty)2/3*1/n^(3-a) $

qualcuno mi spiega come ha fatto a scegliere questa serie per il confronto?

Mmmm beh, il $2/3$ è ovviamente una costante che puoi pure portare fuori, cosa ti rimane?

$n^a/n^3$

Per le proprietà delle potenze, $n^a = 1/n^(-a)$, quindi:
$n^a/n^3 = 1/(n^(-a)*n^3)$

banalmente, ancora una volta per le proprietà delle potenze $n^3*n^(-a) = n^(3-a)$.

Tutto chiaro? [/quote]

Questo si, ma il mio dubbio non era questo.
Invece è del perchè o meglio del come si fa a scegliere una serie per il confronto come per esempio in questo caso?

[The_Mad_Hatter]

"lucatrix":Questo si, ma il mio dubbio non era questo.
Invece è del perchè o meglio del come si fa a scegliere una serie per il confronto come per esempio in questo caso?

Beh, onestamente non ho capito dove sia il confronto.

Premesso che non ho neanche dato uno sguardo alla prima parte del post, le serie $sum_(n = 1)^(infty)n^a/(1/2*3/n^3)$ e $sum_(n = 1)^(infty)2/3*1/n^(3-a)$ sono uguali, quindi non è stata scelta nessuna serie per nessun confronto..

Poi se chiedi chiarimenti sul fatto di moltiplicare e dividere per $3/n^3$, onestamente non ci ho ancora capito granché quindi non ti posso aiutare!


EDIT: Ora che ci do uno sguardo, perché moltiplicare e dividere?
Se $n->+oo$, allora $sqrt(1+3/n^3)-1 ~= 1/2 * 3/n^3$

Ma adesso la mia domanda è: che si possa fare un ragionamento del genere ragionando sui limiti della successione è ok, ma si può fare un ragionamento analogo per quanto riguarda le serie?


RI-EDIT: Mi sa che ho detto una cavolata in quanto le due serie di sopra non sono uguali...!

[lucatrix]

"The_Mad_Hatter":[quote="lucatrix"]Questo si, ma il mio dubbio non era questo.
Invece è del perchè o meglio del come si fa a scegliere una serie per il confronto come per esempio in questo caso?

Beh, onestamente non ho capito dove sia il confronto.

Premesso che non ho neanche dato uno sguardo alla prima parte del post, le serie $sum_(n = 1)^(infty)n^a/(1/2*3/n^3)$ e $sum_(n = 1)^(infty)2/3*1/n^(3-a)$ sono uguali, quindi non è stata scelta nessuna serie per nessun confronto..[/quote]

Fammi capire, secondo te le due serie sono uguali? Se riesci a farle venire uguali ti do un oscar...

[The_Mad_Hatter]

"lucatrix":[quote="The_Mad_Hatter"][quote="lucatrix"]Questo si, ma il mio dubbio non era questo.
Invece è del perchè o meglio del come si fa a scegliere una serie per il confronto come per esempio in questo caso?

Beh, onestamente non ho capito dove sia il confronto.

Premesso che non ho neanche dato uno sguardo alla prima parte del post, le serie $sum_(n = 1)^(infty)n^a/(1/2*3/n^3)$ e $sum_(n = 1)^(infty)2/3*1/n^(3-a)$ sono uguali, quindi non è stata scelta nessuna serie per nessun confronto..[/quote]

Fammi capire, secondo te le due serie sono uguali? Se riesci a farle venire uguali ti do un oscar... [/quote]
ahaha!

avevo editato in effetti ma probabilmente non hai visto :p


Cmq a me a questo punto viene in mente solo di vedere per quali valori di $a$ la serie potrebbe convergere... studiando questo limite ovviamente:
$lim_(n)(n^a/(sqrt(1+3/n^3)-1)) = 2/3 lim_(n) n^(a+3)$, che può essere uguale a 0 sse l'esponente è negativo, ovvero se $a < -3$

Ma poi non saprei più continuare

[legendre]

esiste un limite notevole che recita :$((1+a_n)^b-1)/(a_n)->b$ per $a_n->0$
Quindi dividi e moltiplica numeratore e denominatore per $3/n^3$ dove $a_n=3/n^3$ e $b=1/2$
$((1+3/n^3)^(1/2)-1)/(3/n^3)*3/n^3->(3)/(2n^3)$
ora i termini della serie diventano:$(n^\alpha)/(3/(2n^3))=(2n^(\alpha-3))/3$
Adesso fai il confronto con la serie armonica

[lucatrix]

"legendre":esiste un limite notevole che recita :$((1+a_n)^b-1)/(a_n)->b$ per $a_n->0$
Quindi dividi e moltiplica numeratore e denominatore per $3/n^3$ dove $a_n=3/n^3$ e $b=1/2$
$((1+3/n^3)^(1/2)-1)/(3/n^3)*3/n^3->(3)/(2n^3)$
ora i termini della serie diventano:$(n^\alpha)/(3/(2n^3))=(2n^(\alpha-3))/3$
Adesso fai il confronto con la serie armonica

questo vuol dire che il mio professore ha sbagliato a fare i calcoli, giusto?

Quindi allora per $ a>1 $ la serie converge, mentre per $ a<1 $ la serie diverge. Giusto?

[legendre]

I calcoli sono giusti infatti coincidono con i miei,se guardi bene.
$(2n^(\alpha-3))/(3)=2/3*1/n^(3-alpha)$
Ora devi confrontare $sum_()2/3*1/n^(3-alpha)$ con la serie armonica $sum_()1/n^\alpha$

[lucatrix]

"legendre":I calcoli sono giusti infatti coincidono con i miei,se guardi bene.
$(2n^(\alpha-3))/(3)=2/3*1/n^(3-alpha)$
Ora devi confrontare $sum_()2/3*1/n^(3-alpha)$ con la serie armonica $sum_()1/n^\alpha$

Mi ero perso nei passaggi logici.

Allora è come ho detto io, cioè $ a>1 $ converge e per $a<1 $ diverge?

[The_Mad_Hatter]

"legendre":[...]
ora i termini della serie diventano:$(n^\alpha)/(3/(2n^3))=(2n^(\alpha-3))/3$
Adesso fai il confronto con la serie armonica

Aiuto... me ne sto andando nel panico più totale non riesco più nemmeno a capire elementari passaggi di algebra..:
A me risulta $2/3 n^(a+3)$...
I passaggi sono uguali fino qui:
$ (n^a)/(3/(2n^3))$, ma poi io faccio:
$ (n^a)/(3/(2n^3)) = n^a * (2n^3)/3 = 2/3 n^(a+3)$

Perché il $3$ dovrebbe cambiare di segno?

[The_Mad_Hatter]

"legendre":esiste un limite notevole che recita :$((1+a_n)^b-1)/(a_n)->b$ per $a_n->0$
Quindi dividi e moltiplica numeratore e denominatore per $3/n^3$ dove $a_n=3/n^3$ e $b=1/2$
$((1+3/n^3)^(1/2)-1)/(3/n^3)*3/n^3->(3)/(2n^3)$
ora i termini della serie diventano:$(n^\alpha)/(3/(2n^3))=(2n^(\alpha-3))/3$
Adesso fai il confronto con la serie armonica

Scusate il doppio post, ma non riesco proprio a capire quest'uguaglianza... qualcuno di buon cuore mi potrebbe spiegare perché $(n^a)/(3/(2n^3))=(2n^(a-3))/3$ e non $(n^a)/(3/(2n^3))=(2n^(a+3))/3$ ?

E poi in definitiva questa serie come si comporta?
Per quali valori di $a$ converge?

Grazie..


Lucatrix tu alla fine hai risolto?

[lucatrix]

"The_Mad_Hatter":[quote="legendre"]esiste un limite notevole che recita :$((1+a_n)^b-1)/(a_n)->b$ per $a_n->0$
Quindi dividi e moltiplica numeratore e denominatore per $3/n^3$ dove $a_n=3/n^3$ e $b=1/2$
$((1+3/n^3)^(1/2)-1)/(3/n^3)*3/n^3->(3)/(2n^3)$
ora i termini della serie diventano:$(n^\alpha)/(3/(2n^3))=(2n^(\alpha-3))/3$
Adesso fai il confronto con la serie armonica

Scusate il doppio post, ma non riesco proprio a capire quest'uguaglianza... qualcuno di buon cuore mi potrebbe spiegare perché $(n^a)/(3/(2n^3))=(2n^(a-3))/3$ e non $(n^a)/(3/(2n^3))=(2n^(a+3))/3$ ?

E poi in definitiva questa serie come si comporta?
Per quali valori di $a$ converge?

Grazie..


Lucatrix tu alla fine hai risolto?[/quote]

In effeti viene $(n^a)/(3/(2n^3))=(2n^(a+3))/3$. Per il risultato non ti so dare una mano visto che ho postato la mia ipotetica risposta ma nessuno più mi ha dato risposta.

[The_Mad_Hatter]

"lucatrix":
In effeti viene $(n^a)/(3/(2n^3))=(2n^(a+3))/3$. Per il risultato non ti so dare una mano visto che ho postato la mia ipotetica risposta ma nessuno più mi ha dato risposta.

Guarda allora ipotizzando di non aver commesso errori (attendo correzioni nel caso opposto!), si può dire che la serie data è asintoticamente equivalente a:
$sum_(n = 1)^(+oo) 2/3*1/n^(-a-3)$,
Serie armonica generalizzata di paramentro $\alpha = (-a-3)$

Pertanto dato che la serie armonica converge se $\alpha > 1$, allora la nostra serie convergerà per $-a-3 > 1$ ovvero $a < -4$.


Tuttavia il fatto che sia il tuo professore sia altri utenti qui sul forum siano giunti ad un risultato diverso mi fa pensare alquanto...

Quindi... attendo pareri più autorevoli!

[francalalla1]

Chiaramente non sono un parere così autorevole, ma il risultato è corretto come nell'ultimo post. Strano che il prof abbia avuto una simile svista, ma che dire...a volte capita. Non mi è solo chiaro perchè siete partiti a dividere e moltiplicare a denominatore, alla fine si tratta solo di limiti notevoli, tutto qua.