Dubbi risoluzione problema di Cauchy
Ho una serie di dubbi nella risoluzione del problema di Cauchy. Risolvere il problema determinando il più ampio intervallo ove è definita la soluzione
$\{(y^{\prime}=(x+y)log(x+y)-1),(y(1)= 1):}$
risolvo:
posto $z(x)=x+y(x)$ ricavo la $y(x)$, $y(x)=z(x)-x$ e derivo $y^{\prime}(x)=z^{\prime}(x)-1$ e sostituisco riconducendola così alla risoluzione di un'equazione a variabili separabili.
$z^{\prime}(x)-1=z(x)log(z(x))-1$
$z^{\prime}(x)=z(x)log(z(x))$
l'intervallo di definzione è $D$:$RR$
cerchiamo le eventuali soluzioni costanti:
$z(x)log(z(x))=0$ per $z(x)=1$
cerchiamo adesso le soluzioni $z$ tali che $z(x)log(z(x))!=0$ per ogni $x in D$
$z^{\prime}(x)=z(x)log(z(x))$
$(z^{\prime}(x))/(z(x)log(z(x)))=1$
integriamo
$int(dz)/(zlog(z))=intdx$
risolviamo ottenendo così
$log|log|z(x)||=x+c$
a questo punto con tutti questi valori assoluti mi confondo non poco e non riesco ad andare avanti
$\{(y^{\prime}=(x+y)log(x+y)-1),(y(1)= 1):}$
risolvo:
posto $z(x)=x+y(x)$ ricavo la $y(x)$, $y(x)=z(x)-x$ e derivo $y^{\prime}(x)=z^{\prime}(x)-1$ e sostituisco riconducendola così alla risoluzione di un'equazione a variabili separabili.
$z^{\prime}(x)-1=z(x)log(z(x))-1$
$z^{\prime}(x)=z(x)log(z(x))$
l'intervallo di definzione è $D$:$RR$
cerchiamo le eventuali soluzioni costanti:
$z(x)log(z(x))=0$ per $z(x)=1$
cerchiamo adesso le soluzioni $z$ tali che $z(x)log(z(x))!=0$ per ogni $x in D$
$z^{\prime}(x)=z(x)log(z(x))$
$(z^{\prime}(x))/(z(x)log(z(x)))=1$
integriamo
$int(dz)/(zlog(z))=intdx$
risolviamo ottenendo così
$log|log|z(x)||=x+c$
a questo punto con tutti questi valori assoluti mi confondo non poco e non riesco ad andare avanti
Risposte
Passiamo da questo problema di Cauchy
$\{(y^{\prime}=(x+y)log(x+y)-1),(y(1)= 1):}$
a questo:
$\{(z'(x)=z(x)log(z(x))),(z(1)= 2):}$ (nota che è cambiata anche la condizione iniziale
)
L' equazione differenziale, associata al problema di Cauchy, è ben posta se e solo se $Im(z)= (0,+\infty)$ (Im(z) è l'immagine di z). Lavoriamo un po' solo sulla equazione:
$z'(x)=z(x)log(z(x))$, hai detto giustamente che $z(x)=1$ è la soluzione costante dell'equazione differenziale, ma non del problema di Cauchy in quanto non rispetta la condizione iniziale (infatti, non passa per il punto $(1, z(1))=(1, 2)$).
Ora siamo interessati a determinare la soluzione dell'equazione differenziale non costante, e pertanto (che Fioravante Patrone mi perdoni per quello che sto per fare):
$\frac{z'(x)}{z(x)log(z(x))} = 1$ (1.1)
attenzione però (!!) come puoi osservare tu stesso, andiamo alla ricerca di una funzione che sia continua (e derivabile) in un aperto, con questo passaggio però dobbiamo porre attenzione: in questo caso deve essere che $z(x)!=1$, dunque splittiamo l'immagine di z in due parti, [tex](0, 1)[/tex] e [tex](1, +\infty)[/tex] (abbiamo escluso l'uno, perchè per z(x)=1 l'espressione (1.1) perde significato). Ora tu devi lavorare sul più grande intervallo aperto a cui appartiene la condizione iniziale (z(1)= 2). Poichè $z(1)\in (1,+\infty)$, allora dobbiamo trovare le soluzioni che hanno immagine $(1, +\infty)$
(in pratica sto dicendo che $\forall x\in Dom(z)\quad z(x)\in (1, +\infty)$). Detto questo, integriamo membro a membro:
$\int\frac{z'(x)}{z(x)log(z(x))}dx = \int 1 dx$
$\log|\log|z(x)||= x+ c$
Abbiamo detto che $z(x)\in (1, +\infty)$, pertanto $\log|log|z(x)|| = \log(log(z(x)))$ (perchè?)e di conseguenza:
$z(x) = e^(e^(x+c))$
Dalla condizione iniziale $z(1)= 2$ calcoli la costante $c$. Infine ricordando che $z(x) = x+y(x)$, facendo una sostituzione all'indietro, ottieni la soluzione.
(evviva il formalismo!! è la volta buona che mi bannino dal forum, non sono degno
)
PS: Poche volte ho risolto un problema di Cauchy con il metodo Urang Utan (c), quindi mi scuso se ho scritto qualche corbelleria (è molto probabile)
$\{(y^{\prime}=(x+y)log(x+y)-1),(y(1)= 1):}$
a questo:
$\{(z'(x)=z(x)log(z(x))),(z(1)= 2):}$ (nota che è cambiata anche la condizione iniziale
)L' equazione differenziale, associata al problema di Cauchy, è ben posta se e solo se $Im(z)= (0,+\infty)$ (Im(z) è l'immagine di z). Lavoriamo un po' solo sulla equazione:
$z'(x)=z(x)log(z(x))$, hai detto giustamente che $z(x)=1$ è la soluzione costante dell'equazione differenziale, ma non del problema di Cauchy in quanto non rispetta la condizione iniziale (infatti, non passa per il punto $(1, z(1))=(1, 2)$).
Ora siamo interessati a determinare la soluzione dell'equazione differenziale non costante, e pertanto (che Fioravante Patrone mi perdoni per quello che sto per fare):
$\frac{z'(x)}{z(x)log(z(x))} = 1$ (1.1)
attenzione però (!!) come puoi osservare tu stesso, andiamo alla ricerca di una funzione che sia continua (e derivabile) in un aperto, con questo passaggio però dobbiamo porre attenzione: in questo caso deve essere che $z(x)!=1$, dunque splittiamo l'immagine di z in due parti, [tex](0, 1)[/tex] e [tex](1, +\infty)[/tex] (abbiamo escluso l'uno, perchè per z(x)=1 l'espressione (1.1) perde significato). Ora tu devi lavorare sul più grande intervallo aperto a cui appartiene la condizione iniziale (z(1)= 2). Poichè $z(1)\in (1,+\infty)$, allora dobbiamo trovare le soluzioni che hanno immagine $(1, +\infty)$
(in pratica sto dicendo che $\forall x\in Dom(z)\quad z(x)\in (1, +\infty)$). Detto questo, integriamo membro a membro:
$\int\frac{z'(x)}{z(x)log(z(x))}dx = \int 1 dx$
$\log|\log|z(x)||= x+ c$
Abbiamo detto che $z(x)\in (1, +\infty)$, pertanto $\log|log|z(x)|| = \log(log(z(x)))$ (perchè?)e di conseguenza:
$z(x) = e^(e^(x+c))$
Dalla condizione iniziale $z(1)= 2$ calcoli la costante $c$. Infine ricordando che $z(x) = x+y(x)$, facendo una sostituzione all'indietro, ottieni la soluzione.
(evviva il formalismo!! è la volta buona che mi bannino dal forum, non sono degno
)PS: Poche volte ho risolto un problema di Cauchy con il metodo Urang Utan (c), quindi mi scuso se ho scritto qualche corbelleria (è molto probabile
)
[quote=Mathematico]Passiamo da questo problema di Cauchy
$\{(y^{\prime}=(x+y)log(x+y)-1),(y(1)= 1):}$
a questo:
$\{(z'(x)=z(x)log(z(x))),(z(1)= 2):}$ (nota che è cambiata anche la condizione iniziale )
[\quote]
come mai cambia anche la condizione iniziale?
[quote]
$\int\frac{z'(x)}{z(x)log(z(x))}dx = \int 1 dx$
$\log|\log|z(x)||= x+ c$
Abbiamo detto che $z(x)\in (1, +\infty)$, pertanto $\log|log|z(x)|| = \log(log(z(x)))$ (perchè?)e di conseguenza:
$z(x) = e^(e^(x+c))$
[\quote]
come mai diventa:
$\log|log|z(x)|| = \log(log(z(x)))$ ?
$\{(y^{\prime}=(x+y)log(x+y)-1),(y(1)= 1):}$
a questo:
$\{(z'(x)=z(x)log(z(x))),(z(1)= 2):}$ (nota che è cambiata anche la condizione iniziale
)[\quote]
come mai cambia anche la condizione iniziale?
[quote]
$\int\frac{z'(x)}{z(x)log(z(x))}dx = \int 1 dx$
$\log|\log|z(x)||= x+ c$
Abbiamo detto che $z(x)\in (1, +\infty)$, pertanto $\log|log|z(x)|| = \log(log(z(x)))$ (perchè?)e di conseguenza:
$z(x) = e^(e^(x+c))$
[\quote]
come mai diventa:
$\log|log|z(x)|| = \log(log(z(x)))$ ?
Beh, hai giustamente posto $z(x)= y(x)+x$, di conseguenza la condizione iniziale cambia.
Per $x= 1$ hai che $z(1)= y(1)+1= 1+1 = 2$. Quindi il problema di Cauchy originario si trasforma nel seguente
$\{(z'(x)=z(x)log(z(x))),(z(1)= 2):}$
Per quanto riguarda l'altra domanda:
Poichè $z(x)\in (1, +\infty)$ allora $z(x)>1>0$ e di conseguenza $log|z(x)| = log(z(x))$ (z(x) è positiva). Inoltre poichè $z(x)>1$ allora $log(z(x))>0$ e quindi
$log|log|z(x)| |= log(log(z(x)))$.
Spero sia chiaro ora
Per $x= 1$ hai che $z(1)= y(1)+1= 1+1 = 2$. Quindi il problema di Cauchy originario si trasforma nel seguente
$\{(z'(x)=z(x)log(z(x))),(z(1)= 2):}$
Per quanto riguarda l'altra domanda:
Poichè $z(x)\in (1, +\infty)$ allora $z(x)>1>0$ e di conseguenza $log|z(x)| = log(z(x))$ (z(x) è positiva). Inoltre poichè $z(x)>1$ allora $log(z(x))>0$ e quindi
$log|log|z(x)| |= log(log(z(x)))$.
Spero sia chiaro ora
"Mathematico":
Beh, hai giustamente posto $z(x)= y(x)+x$, di conseguenza la condizione iniziale cambia.
Per $x= 1$ hai che $z(1)= y(1)+1= 1+1 = 2$. Quindi il problema di Cauchy originario si trasforma nel seguente
$\{(z'(x)=z(x)log(z(x))),(z(1)= 2):}$
Per quanto riguarda l'altra domanda:
Poichè $z(x)\in (1, +\infty)$ allora $z(x)>1>0$ e di conseguenza $log|z(x)| = log(z(x))$ (z(x) è positiva). Inoltre poichè $z(x)>1$ allora $log(z(x))>0$ e quindi
$log|log|z(x)| |= log(log(z(x)))$.
Spero sia chiaro ora
si si mathematico. tutto chiaro.tutta una questione di segni e di definizione della funzione. un'ultima domanda: le possibili soluzioni dell'equazione differenziali devono passare dal punto $(1,2)$ ma per $z(x)=1$ corrispondente alla soluzione costante non passa dal punto $(1,2)$?
Spero di aver compreso il tuo problema. In pratica la funzione identicamente pari ad 1, $z(x)= 1$, è soluzione dell'equazione differenziale, ma non rispetta la condizione iniziale, quindi non può essere soluzione del problema di Cauchy. Questo perchè $z(x)= 1$ per ogni x, allora avrai che $z(1)= 1 != 2$
"Mathematico":
Spero di aver compreso il tuo problema. In pratica la funzione identicamente pari ad 1, $z(x)= 1$, è soluzione dell'equazione differenziale, ma non rispetta la condizione iniziale, quindi non può essere soluzione del problema di Cauchy. Questo perchè $z(x)= 1$ per ogni x, allora avrai che $z(1)= 1 != 2$
quindi se non ho capito invece di essere $z(x)=1$ doveva essere uguale a $2$. Esatto?
Scusami, ma non capisco.. Se hai una funzione costante, ed essa vale sempre 1, come fa ad essere uguale a 2? Molto probabilmente sono io che non capisco qual sia il tuo reale problema.
Tu hai correttamente determinato la soluzione costante dell'equazione differenziale, io ho solo aggiunto il fatto che essa non è soluzione del problema di Cauchy.... Sono un pessimo aiutante ...
"Mathematico":
:|
Scusami, ma non capisco.. Se hai una funzione costante, ed essa vale sempre 1, come fa ad essere uguale a 2? Molto probabilmente sono io che non capisco qual sia il tuo reale problema.
Tu hai correttamente determinato la soluzione costante dell'equazione differenziale, io ho solo aggiunto il fatto che essa non è soluzione del problema di Cauchy.... Sono un pessimo aiutante ...
no no assolutamente no mathematico. Sei un ottimo aiutante. Ero entrato io in una confusione metafisica. Adesso tutto chiaro. grazie mathematico. Come sempre sei il mio salvagente in un mare di numeri!
sbaglio o eseguendo le dovute sostituzioni ottengo: $c=log log 2-1$
Sì, torna anche a me questo risultato . Adesso con le proprietà della funzione esponenziale, dovresti ottenere la soluzione scritta per bene
. Adesso con le proprietà della funzione esponenziale, dovresti ottenere la soluzione scritta per bene
"Mathematico":
Sì, torna anche a me questo risultato
la soluzione finale dopo la sostituzione diventa: $y(x)=e^(e^(x+loglog2-1))-x$ e dato che questa soluzione è definita su tutto $(1,+oo)$ la soluzione è globale e non ci sono altre soluzioni
"mazzy89":
[quote="Mathematico"]Sì, torna anche a me questo risultato
la soluzione finale dopo la sostituzione diventa: $y(x)=e^(e^(x+loglog2-1))-x$ e dato che questa soluzione è definita su tutto $(1,+oo)$ la soluzione è globale e non ci sono altre soluzioni[/quote]
Mmm, non mi convince il dominio... Se fosse realmente quello, non potresti valutare la funzione $y(x)$ in $1$. Modulo errori di calcolo, la funzione $y(x)$ dovrebbe essere definita in tutto $\mathbb{R}$.
Una piccola annotazione, $(1, +\infty)$ è in realtà l'immagine (o codominio) della funzione $z(x)$ non il dominio
.
consideriamo invece un'equazione differenziale a coefficienti omogenei: $y^{\prime}=(y/x)(1+log(y/x))$ e risolviamola
poniamo $z(x)=(y(x))/x$ eseguendo i dovuti calcolo ottengo $z^{\prime}(x)=(z(x)log(z(x)))/x$ Il mio problema sta nel calcolo del dominio. Il dominio è $(0,+oo)$ per $z$ e $(-oo,0) U (0,+oo)$ per $x$.esatto?
poniamo $z(x)=(y(x))/x$ eseguendo i dovuti calcolo ottengo $z^{\prime}(x)=(z(x)log(z(x)))/x$ Il mio problema sta nel calcolo del dominio. Il dominio è $(0,+oo)$ per $z$ e $(-oo,0) U (0,+oo)$ per $x$.esatto?
"Mathematico":
[quote="mazzy89"][quote="Mathematico"]Sì, torna anche a me questo risultato
la soluzione finale dopo la sostituzione diventa: $y(x)=e^(e^(x+loglog2-1))-x$ e dato che questa soluzione è definita su tutto $(1,+oo)$ la soluzione è globale e non ci sono altre soluzioni[/quote]
Mmm, non mi convince il dominio... Se fosse realmente quello, non potresti valutare la funzione $y(x)$ in $1$. Modulo errori di calcolo, la funzione $y(x)$ dovrebbe essere definita in tutto $\mathbb{R}$.
Una piccola annotazione, $(1, +\infty)$ è in realtà l'immagine (o codominio) della funzione $z(x)$ non il dominio
.[/quote]ma si che stupido.dove l'avevo la testa. Certo il dominio è tutto $RR$
"mazzy89":
consideriamo invece un'equazione differenziale a coefficienti omogenei: $y^{\prime}=(y/x)(1+log(y/x))$ e risolviamola
poniamo $z(x)=(y(x))/x$ eseguendo i dovuti calcolo ottengo $z^{\prime}(x)=(z(x)log(z(x)))/x$ Il mio problema sta nel calcolo del dominio. Il dominio è $(0,+oo)$ per $z$ e $(-oo,0) U (0,+oo)$ per $x$.esatto?
Ovviamente sì
PS: Non sono convinto che il dominio dell'esercizio precedente sia effettivamente $\mathbb{R}$, devo fare un po' di conti, ma non adesso, lo faccio dopo cena. Utilizzerò però il procedimento che conosco io per le equazioni differenziali a variabili separabili
. A dopo
Ho fatto i miei conti, ed effettivamente il dominio della funzione soluzione del problema di Cauchy precedente è [tex]\mathbb{R}[/tex], ma visto che ci sono, ti spiego come mi hanno insegnato a risolvere le equazioni differenziali a variabili separabili 
.
Allura, abbiamo il problema di Cauchy
$\{(z'(x)=z(x)log(z(x))),(z(1)= 2):}$
L'equazione differenziale che interviene in esso è della forma:
[tex]z'(x)= a(x)b(z(x))[/tex] dove:
•[tex]a(x) = 1[/tex]
•[tex]b(t) = t \log(t)[/tex]
In questo caso quindi, il dominio di [tex]a[/tex] è [tex]I=\mathbb{R}[/tex], mentre il dominio della funzione [tex]b[/tex] è [tex]J=(0, +\infty)[/tex].
Determiniamo gli eventuali zeri della funzione [tex]b[/tex]. Esse rappresenteranno le soluzioni costanti dell'equazione differenziale!.
[tex]b(z(x)) =0 \iff z(x) \log(z(x)) = 0 \iff z(x)=1[/tex].
Abbiamo quindi che la funzione [tex]z(x)= 1 \quad \forall x\in I[/tex] è la soluzione costante dell'equazione differenziale, ma non rispettando la condizione iniziale essa non è soluzione del problema di Cauchy.
Andiamo ora alla ricerca delle soluzioni non costanti del problema di Cauchy. Prima però dobbiamo determinare un sottointervallo [tex]J_0\subseteq J=(0, +\infty)[/tex] che obbedisca a certe caratteristiche:
• [tex]J_0[/tex] deve essere un intervallo aperto.
• [tex]J_0[/tex] non deve possedere zeri della funzione [tex]b[/tex].
• [tex]J_0[/tex] deve possedere [tex]z(1)=2[/tex].
Cerchiamo di ragionare per passi di modo che possiamo determinare [tex]J_0[/tex]:
Da [tex]J= (0,+\infty)[/tex] togliamo [tex]1[/tex], in quanto zero della funzione [tex]b[/tex], quindi abbiamo [tex](0,1)\cup (1, +\infty)[/tex], ma questo non è un intervallo (non è connesso). Sappiamo però che l'intervallo di cui abbiamo bisogno contiene [tex]z(1)=2[/tex], ma allora il più grande intervallo che contiene 2 ed è contenuto in [tex]J[/tex] è [tex]J_0 = (1, +\infty)[/tex]. Siamo contenti perchè [tex]J_0[/tex] rispetta tutti i criteri .
La funzione [tex]b:J_0\to \mathbb{R}[/tex] è localmente lipschitziana, poichè è derivabile con derivate continue in [tex]J_0[/tex] allora il P. C ha una sola soluzione massimale [tex]z(x)= B^{-1} (A(x))\quad\forall x\in I_0[/tex] dove:
•[tex]\displaystyle A(x) :=\int_{x_0}^x a(s) ds = \int_{1}^x ds =x-1\qquad \forall x\in I = \mathbb{R}[/tex]
•[tex]\displaystyle B(z) := \int_{z_0}^z \frac{1}{b(t)}dt = \int_{2}^{z} \frac{dt}{t \log(t)} = \log|\log|z|| - \log(\log(2))[/tex]
[tex]\forall z\in J_0= (1, +\infty)[/tex].
•[tex]I_0[/tex] è il più grande intervallo contenuto in [tex]I[/tex] e contenente [tex]x_0=1[/tex] tale che [tex]A(x)\in B(J_0)\quad \forall x\in I[/tex] e rappresenta il dominio della funzione soluzione.
Determiniamo dapprima [tex]I_0[/tex]:
Per fare ciò dobbiamo trovare prima l'immagine di [tex]B[/tex] ristretta a [tex]J_0[/tex], cioè [tex]B(J_0) = (-\infty, \infty)[/tex], è facile da verificare.
[tex]A(x)\in B(J_0)= (-\infty, \infty)\iff x-1\in (-\infty, \infty)\iff x\in (-\infty, \infty)[/tex],
dunque possiamo asserire con certezza che [tex]I_0=\mathbb{R}[/tex].
Determiniamo ora la soluzione:
Abbiamo detto che [tex]z(x)= B^{-1} (A(x))\quad\forall x\in I_0[/tex]:
[tex]B(z(x))= A(x)\iff \log(\log(z(x))) -\log(\log(2))=[/tex]
[tex]=x-1\iff\log(\log(z(x))) = x-1+\log(\log(2))[/tex]
[tex]\displaystyle\iff z(x)= e^{e^{x-1+\log(\log(2))}} = e^{\log(2) e^{x-1}} = 2^{e^{x-1}}\quad\forall x\in I_0= \mathbb{R}[/tex].
Ora poichè [tex]z(x)= y(x)+x[/tex] allora [tex]y(x)= z(x)-x = 2^{e^{x-1}}-x\quad \forall x\in I_0=\mathbb{R}[/tex]. Finito -__-''
E' stata una lotta continua con Latex, non so perchè mi sbarellavano le formule
.Allura, abbiamo il problema di Cauchy
$\{(z'(x)=z(x)log(z(x))),(z(1)= 2):}$
L'equazione differenziale che interviene in esso è della forma:
[tex]z'(x)= a(x)b(z(x))[/tex] dove:
•[tex]a(x) = 1[/tex]
•[tex]b(t) = t \log(t)[/tex]
In questo caso quindi, il dominio di [tex]a[/tex] è [tex]I=\mathbb{R}[/tex], mentre il dominio della funzione [tex]b[/tex] è [tex]J=(0, +\infty)[/tex].
Determiniamo gli eventuali zeri della funzione [tex]b[/tex]. Esse rappresenteranno le soluzioni costanti dell'equazione differenziale!.
[tex]b(z(x)) =0 \iff z(x) \log(z(x)) = 0 \iff z(x)=1[/tex].
Abbiamo quindi che la funzione [tex]z(x)= 1 \quad \forall x\in I[/tex] è la soluzione costante dell'equazione differenziale, ma non rispettando la condizione iniziale essa non è soluzione del problema di Cauchy.
Andiamo ora alla ricerca delle soluzioni non costanti del problema di Cauchy. Prima però dobbiamo determinare un sottointervallo [tex]J_0\subseteq J=(0, +\infty)[/tex] che obbedisca a certe caratteristiche:
• [tex]J_0[/tex] deve essere un intervallo aperto.
• [tex]J_0[/tex] non deve possedere zeri della funzione [tex]b[/tex].
• [tex]J_0[/tex] deve possedere [tex]z(1)=2[/tex].
Cerchiamo di ragionare per passi di modo che possiamo determinare [tex]J_0[/tex]:
Da [tex]J= (0,+\infty)[/tex] togliamo [tex]1[/tex], in quanto zero della funzione [tex]b[/tex], quindi abbiamo [tex](0,1)\cup (1, +\infty)[/tex], ma questo non è un intervallo (non è connesso). Sappiamo però che l'intervallo di cui abbiamo bisogno contiene [tex]z(1)=2[/tex], ma allora il più grande intervallo che contiene 2 ed è contenuto in [tex]J[/tex] è [tex]J_0 = (1, +\infty)[/tex]. Siamo contenti perchè [tex]J_0[/tex] rispetta tutti i criteri
. La funzione [tex]b:J_0\to \mathbb{R}[/tex] è localmente lipschitziana, poichè è derivabile con derivate continue in [tex]J_0[/tex] allora il P. C ha una sola soluzione massimale [tex]z(x)= B^{-1} (A(x))\quad\forall x\in I_0[/tex] dove:
•[tex]\displaystyle A(x) :=\int_{x_0}^x a(s) ds = \int_{1}^x ds =x-1\qquad \forall x\in I = \mathbb{R}[/tex]
•[tex]\displaystyle B(z) := \int_{z_0}^z \frac{1}{b(t)}dt = \int_{2}^{z} \frac{dt}{t \log(t)} = \log|\log|z|| - \log(\log(2))[/tex]
[tex]\forall z\in J_0= (1, +\infty)[/tex].
•[tex]I_0[/tex] è il più grande intervallo contenuto in [tex]I[/tex] e contenente [tex]x_0=1[/tex] tale che [tex]A(x)\in B(J_0)\quad \forall x\in I[/tex] e rappresenta il dominio della funzione soluzione
.Determiniamo dapprima [tex]I_0[/tex]:
Per fare ciò dobbiamo trovare prima l'immagine di [tex]B[/tex] ristretta a [tex]J_0[/tex], cioè [tex]B(J_0) = (-\infty, \infty)[/tex], è facile da verificare
.[tex]A(x)\in B(J_0)= (-\infty, \infty)\iff x-1\in (-\infty, \infty)\iff x\in (-\infty, \infty)[/tex],
dunque possiamo asserire con certezza che [tex]I_0=\mathbb{R}[/tex].
Determiniamo ora la soluzione:
Abbiamo detto che [tex]z(x)= B^{-1} (A(x))\quad\forall x\in I_0[/tex]:
[tex]B(z(x))= A(x)\iff \log(\log(z(x))) -\log(\log(2))=[/tex]
[tex]=x-1\iff\log(\log(z(x))) = x-1+\log(\log(2))[/tex]
[tex]\displaystyle\iff z(x)= e^{e^{x-1+\log(\log(2))}} = e^{\log(2) e^{x-1}} = 2^{e^{x-1}}\quad\forall x\in I_0= \mathbb{R}[/tex].
Ora poichè [tex]z(x)= y(x)+x[/tex] allora [tex]y(x)= z(x)-x = 2^{e^{x-1}}-x\quad \forall x\in I_0=\mathbb{R}[/tex]. Finito -__-''
E' stata una lotta continua con Latex, non so perchè mi sbarellavano le formule
"Mathematico":
Ho fatto i miei conti, ed effettivamente il dominio della funzione soluzione del problema di Cauchy precedente è [tex]\mathbb{R}[/tex], ma visto che ci sono, ti spiego come mi hanno insegnato a risolvere le equazioni differenziali a variabili separabili
Allura, abbiamo il problema di Cauchy
$\{(z'(x)=z(x)log(z(x))),(z(1)= 2):}$
L'equazione differenziale che interviene in esso è della forma:
[tex]z'(x)= a(x)b(z(x))[/tex] dove:
•[tex]a(x) = 1[/tex]
•[tex]b(t) = t \log(t)[/tex]
In questo caso quindi, il dominio di [tex]a[/tex] è [tex]I=\mathbb{R}[/tex], mentre il dominio della funzione [tex]b[/tex] è [tex]J=(0, +\infty)[/tex].
Determiniamo gli eventuali zeri della funzione [tex]b[/tex]. Esse rappresenteranno le soluzioni costanti dell'equazione differenziale!.
[tex]b(z(x)) =0 \iff z(x) \log(z(x)) = 0 \iff z(x)=1[/tex].
Abbiamo quindi che la funzione [tex]z(x)= 1 \quad \forall x\in I[/tex] è la soluzione costante dell'equazione differenziale, ma non rispettando la condizione iniziale essa non è soluzione del problema di Cauchy.
Andiamo ora alla ricerca delle soluzioni non costanti del problema di Cauchy. Prima però dobbiamo determinare un sottointervallo [tex]J_0\subseteq J=(0, +\infty)[/tex] che obbedisca a certe caratteristiche:
• [tex]J_0[/tex] deve essere un intervallo aperto.
• [tex]J_0[/tex] non deve possedere zeri della funzione [tex]b[/tex].
• [tex]J_0[/tex] deve possedere [tex]z(1)=2[/tex].
Cerchiamo di ragionare per passi di modo che possiamo determinare [tex]J_0[/tex]:
Da [tex]J= (0,+\infty)[/tex] togliamo [tex]1[/tex], in quanto zero della funzione [tex]b[/tex], quindi abbiamo [tex](0,1)\cup (1, +\infty)[/tex], ma questo non è un intervallo (non è connesso). Sappiamo però che l'intervallo di cui abbiamo bisogno contiene [tex]z(1)=2[/tex], ma allora il più grande intervallo che contiene 2 ed è contenuto in [tex]J[/tex] è [tex]J_0 = (1, +\infty)[/tex]. Siamo contenti perchè [tex]J_0[/tex] rispetta tutti i criteri
La funzione [tex]b:J_0\to \mathbb{R}[/tex] è localmente lipschitziana, poichè è derivabile con derivate continue in [tex]J_0[/tex] allora il P. C ha una sola soluzione massimale [tex]z(x)= B^{-1} (A(x))\quad\forall x\in I_0[/tex] dove:
•[tex]\displaystyle A(x) :=\int_{x_0}^x a(s) ds = \int_{1}^x ds =x-1\qquad \forall x\in I = \mathbb{R}[/tex]
•[tex]\displaystyle B(z) := \int_{z_0}^z \frac{1}{b(t)}dt = \int_{2}^{z} \frac{dt}{t \log(t)} = \log|\log|z|| - \log(\log(2))[/tex]
[tex]\forall z\in J_0= (1, +\infty)[/tex].
•[tex]I_0[/tex] è il più grande intervallo contenuto in [tex]I[/tex] e contenente [tex]x_0=1[/tex] tale che [tex]A(x)\in B(J_0)\quad \forall x\in I[/tex] e rappresenta il dominio della funzione soluzione
Determiniamo dapprima [tex]I_0[/tex]:
Per fare ciò dobbiamo trovare prima l'immagine di [tex]B[/tex] ristretta a [tex]J_0[/tex], cioè [tex]B(J_0) = (-\infty, \infty)[/tex], è facile da verificare
[tex]A(x)\in B(J_0)= (-\infty, \infty)\iff x-1\in (-\infty, \infty)\iff x\in (-\infty, \infty)[/tex],
dunque possiamo asserire con certezza che [tex]I_0=\mathbb{R}[/tex].
Determiniamo ora la soluzione:
Abbiamo detto che [tex]z(x)= B^{-1} (A(x))\quad\forall x\in I_0[/tex]:
[tex]B(z(x))= A(x)\iff \log(\log(z(x))) -\log(\log(2))=[/tex]
[tex]=x-1\iff\log(\log(z(x))) = x-1+\log(\log(2))[/tex]
[tex]\displaystyle\iff z(x)= e^{e^{x-1+\log(\log(2))}} = e^{\log(2) e^{x-1}} = 2^{e^{x-1}}\quad\forall x\in I_0= \mathbb{R}[/tex].
Ora poichè [tex]z(x)= y(x)+x[/tex] allora [tex]y(x)= z(x)-x = 2^{e^{x-1}}-x\quad \forall x\in I_0=\mathbb{R}[/tex]. Finito -__-''
E' stata una lotta continua con Latex, non so perchè mi sbarellavano le formule
Grande mathematico. tutto chiaro. Precisione, chiarezza, dovizia di spiegazione. Eccellente 30 con lode. Ti ringrazio tanto per la perfetta spiegazione che mi hai dato. tutto chiaro. Ma credo che se non ti dispiacerà ti continuerò a disturbare ancora per un pò perché la strada per la "saggezza" è ancora lunga.
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