Dubbi pre-esonero

[Tidus89]

Come al solito ho problemi con questi maledettissimi limiti
$(sqrt(x)+sin(x))/log(x) x->oo$
$(log(sin(x)))/cos(x) x->pi/2$
$((3^x)-x^3)/(x-3) x->3$
Questo topic probabilmente sarà in continuo aggiornamento oggi. Ci metto i dubbi che mi sorgono man mano che mi faccio gli esercizi. Siate pazienti, vi prego. Sono già molto agitato

[fabry1985mi]

"Tidus89":Come al solito ho problemi con questi maledettissimi limiti
$(sqrt(x)+sin(x))/log(x) x->oo$
$(log(sin(x)))/cos(x) x->pi/2$
$((3^x)-x^3)/(x-3) x->3$
Questo topic probabilmente sarà in continuo aggiornamento oggi. Ci metto i dubbi che mi sorgono man mano che mi faccio gli esercizi. Siate pazienti, vi prego. Sono già molto agitato

$(sqrt(x)+sin(x))/(log(x))=(sqrt(x)*[1+(sin(x))/(sqrt(x))])/(log(x))=(sqrt(x))/(log(x))*[1+(sin(x))/(sqrt(x))]->+oo*1=+oo$ per $x->+oo$

$lim_(x->(pi)/(2))(log(sin(x)))/cos(x)=lim_(x->(pi)/(2))-(cos(x)/(sin(x)))/(sin(x))=lim_(x->(pi)/(2))-(cos(x))/(sin^2(x))=0$ dove si è usato De L'Hôpital

$lim_(x->3)((3^x)-x^3)/(x-3)=lim_(x->3)(log(3)3^x-3x^2)/(1)=27log(3)-27$ e ancora si è usato De L'Hôpital

Comunque sono molto facili questi limiti, quindi se non sei in grado di risolverli da solo ti consigli di lasciar stare l'esonero (se è a breve) perché ce n'è di lavoro da fare.

[Tidus89]

A provarci ci vorrei provare lo stesso... Ma quelli dove si usa De L'Hopital si risolvono solo con De L'Hopital? Perché noi ancora non lo abbiamo fatto. Se è così, mi tranquillizzo, perché sono limiti che non posso ancora risolvere.

[Lord K]

Senza Hopital ovviamente tende a complicarsi un pcohetto, ma basta ricondursi sempre a limiti notevoli!

1)$lim_(x rightarrow pi/2) log(sinx)/(cosx) = lim_(x rightarrow pi/2) log(sinx)/(sinx-1)*(sinx-1)/cosx =lim_(x rightarrow pi/2) log(sinx)/(sinx-1) * lim_(x rightarrow pi/2) (sinx-1)/sqrt(1-sin^2x) = lim_(x rightarrow pi/2) sqrt((sinx-1)^2/(1-sin^2x)) =lim_(x rightarrow pi/2) sqrt((-sinx+1)/(1+sinx)) = 0$

2)$lim_(x rightarrow 3) ((3^x)-x^3)/(x-3) = lim_(x rightarrow 3) (e^(x*ln3)-e^(3*lnx))/(x-3) = lim_(x rightarrow 3) e^(3*lnx)*[(e^(xln3-3lnx)-1)/(x-3)] = lim_(x rightarrow 3) e^(3*lnx)*[(e^(xln3-3lnx)-1)/(xln3-3lnx)*ln3*(x-3/ln3*lnx)/(x-3)] =$

$=lim_(x rightarrow 3) ln3*e^(3*lnx)*[(x-3+3-3/ln3*lnx)/(x-3)]=lim_(x rightarrow 3) ln3*e^(3*lnx)*[1+3/(ln3)*(ln3/x)/(x-3)]=lim_(x rightarrow 3) ln3*e^(3*lnx)*[1+3/(ln3)*(ln3/x)/(3/x-1)*(3/x-1)/(x-3)]=lim_(x rightarrow 3) ln3*e^(3*lnx)*[1+3/(ln3)*(3-x)/(x(x-3))]= ln3*3^3*[1-1/ln3] = (ln3-1)27

[Tidus89]

Bè, quindi facilissimi senza de l'Hopital non erano
Comunque oggi ho dato l'esonero. Vi fo sapere ^^