Dubbi numeri complessi
Ho il compitino di geometria tra un paio di giorni e ancora troppi dubbi da togliermi, se qualcuno potesse aiutarmi gliene sarei grato.
1- Nel piano di Gauss ho le 4 rette: $z1 V z2 : (3+2i)z + (3-2i)\bar z -2=0$ , $z2 V z3: z + \bar z - 2=0$ ,
$z3 V z4: (3+2i)z + (3-2i)\bar z + 2=0$ , $z1 V z4: z + \bar z + 2=0$ , devo evidenziare nel piano la regione $\lambda_*(P^(in))nnP^(in)$ , dove si indica con $P^(in)$ l'insieme dei punti interni al quadrilatero formato dalle intersezioni delle rette , e $\lambda$ la riflessione nella circonferenza unitaria.
Allora io ho determinato la riflessione $\lambda$ di tutte le rette, però ora non capisco cosa fare, mi è stato brevemente spiegato che devo scrivere un sistema con le equazioni delle rette in cui devo mettere il segno di $>$ o $<$ che dipende dal segno del termine noto $c$ (so che ho spiegato un po' male ma a parole non so fare di meglio). Ma questo come può aiutarmi nell'evidenziare quella regione?
2 - (Altro esercizio) : Dati $z_0$ e $\alpha$ in $CC$ con $|\alpha|=1$ , è vero o falso che l'applicazione $\sigma(z) = z_0 + \alpha^2(\bar (z-z_0))$ è la simmetria ortogonale di asse la retta $r= z_0 V (z_0 + \alpha)$ ?
Soluzione: (io avrei usato il metodo "diretto", cioè sapendo che la riflessione di una retta è la composizione di una traslazione di -z0 , rotazione di -alpha, coniugio, rotazione di +alpha , traslazione di +z0 avrei verificato cha vale quello scritto sopra, tuttavia il professore lo risolve così) :
Un numero complesso si scrive come $z = z_0 + (r+is)\alpha$ (perchè? non riesco a capire) , con $r\alpha$ componente del vettore $z-z_0$ parallela alla retta $r$ (perchè?) , mentre $is\alpha$ è la componente dello stesso vettore ortogonale alla retta (perhè?). Qui poi fa vedere che applicando $\sigma(z)$ ottiene lo stesso vettore con la componente parallela invariata e la componente ortogonale opposta, quindi la simmetria ortogonale rispetto alla retta $r$ , però sono le prime righe che non capisco, qualcuno riesce a fare chiarezza? Grazie
1- Nel piano di Gauss ho le 4 rette: $z1 V z2 : (3+2i)z + (3-2i)\bar z -2=0$ , $z2 V z3: z + \bar z - 2=0$ ,
$z3 V z4: (3+2i)z + (3-2i)\bar z + 2=0$ , $z1 V z4: z + \bar z + 2=0$ , devo evidenziare nel piano la regione $\lambda_*(P^(in))nnP^(in)$ , dove si indica con $P^(in)$ l'insieme dei punti interni al quadrilatero formato dalle intersezioni delle rette , e $\lambda$ la riflessione nella circonferenza unitaria.
Allora io ho determinato la riflessione $\lambda$ di tutte le rette, però ora non capisco cosa fare, mi è stato brevemente spiegato che devo scrivere un sistema con le equazioni delle rette in cui devo mettere il segno di $>$ o $<$ che dipende dal segno del termine noto $c$ (so che ho spiegato un po' male ma a parole non so fare di meglio). Ma questo come può aiutarmi nell'evidenziare quella regione?
2 - (Altro esercizio) : Dati $z_0$ e $\alpha$ in $CC$ con $|\alpha|=1$ , è vero o falso che l'applicazione $\sigma(z) = z_0 + \alpha^2(\bar (z-z_0))$ è la simmetria ortogonale di asse la retta $r= z_0 V (z_0 + \alpha)$ ?
Soluzione: (io avrei usato il metodo "diretto", cioè sapendo che la riflessione di una retta è la composizione di una traslazione di -z0 , rotazione di -alpha, coniugio, rotazione di +alpha , traslazione di +z0 avrei verificato cha vale quello scritto sopra, tuttavia il professore lo risolve così) :
Un numero complesso si scrive come $z = z_0 + (r+is)\alpha$ (perchè? non riesco a capire) , con $r\alpha$ componente del vettore $z-z_0$ parallela alla retta $r$ (perchè?) , mentre $is\alpha$ è la componente dello stesso vettore ortogonale alla retta (perhè?). Qui poi fa vedere che applicando $\sigma(z)$ ottiene lo stesso vettore con la componente parallela invariata e la componente ortogonale opposta, quindi la simmetria ortogonale rispetto alla retta $r$ , però sono le prime righe che non capisco, qualcuno riesce a fare chiarezza? Grazie
Risposte
Mi basta solo il primo punto, nessuno che può aiutarmi? Forse mi sono spiegato male?
Questa equazione
$ z2 V z3: z + \bar z - 2=0 $
individua la retta $x=1$ sul piano cartesiano.
$ z1 V z4: z + \bar z + 2=0 $
individua $x = -1$
Mi sembra abbastanza chiaro che la regione e' a sinistra della prima e a destra della seconda.
$ z2 V z3: z + \bar z - 2=0 $
individua la retta $x=1$ sul piano cartesiano.
$ z1 V z4: z + \bar z + 2=0 $
individua $x = -1$
Mi sembra abbastanza chiaro che la regione e' a sinistra della prima e a destra della seconda.
Grazie mille per la risposta, questo lo so, anche perché le rette =1 e x=-1 sono i lati opposti del poligono quindi lo delimitano, e io sto cercando l'intersezione tra i punti interni e la riflessione sulla circonferenza unitaria di essi,quindi sicuramente quell'area che dici tu è compresa , riesci a dirmi qualcosa in più? Appena arrivo a casa metto una immagine della soluzione
EDIT: Ecco la "soluzione": Soluzione
EDIT: Ecco la "soluzione": Soluzione
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