Dubbi nel calcolo del limite (e funzioni con 2 variabili)
Ciao. Sul libro ho un esempio di calcolo di limite, che riporto di seguito:
Ma questo quindi vale sempre? Io ho sempre saputo che $lim_(x -> 0) (1/x) = oo$
Un altro limite è: $lim_((x,y) -> (0,0)) ((x^2-y^2)/(x^2+y^2))$ in cui la soluzione data dal libro dice: Il limite non esiste poichè non sono uguali i due limiti: $lim_(x -> 0) (x^2/x^2) = 1$ e $lim_(y -> 0) (- y^2/y^2) = -1$
Quindi, nel caso di funzione con 2 variabili, i relativi due limiti che calcolo devono tendere allo stesso limite L affinchè il limite esista?
$lim_(x ->0) (2x/x^2) = \pm oo$. Il segno dipende dal fatto che potrebbe essere $x -> o^+$ oppure $x -> 0^-$. Poichè il limite, se esiste, è unico, tale limite non esiste
Ma questo quindi vale sempre? Io ho sempre saputo che $lim_(x -> 0) (1/x) = oo$
Un altro limite è: $lim_((x,y) -> (0,0)) ((x^2-y^2)/(x^2+y^2))$ in cui la soluzione data dal libro dice: Il limite non esiste poichè non sono uguali i due limiti: $lim_(x -> 0) (x^2/x^2) = 1$ e $lim_(y -> 0) (- y^2/y^2) = -1$
Quindi, nel caso di funzione con 2 variabili, i relativi due limiti che calcolo devono tendere allo stesso limite L affinchè il limite esista?
Risposte
Ebbene si! Il limite che hai postato tu ( $lim_{x->0} 1/x = oo$ ) analiticamente non ha senso, appunto perchè $oo$ non è definito senza essere preceduto da un segno. Tendendo a $0$ da destra, il limite tende a $+oo$, altrimenti a $-oo$: ecco perchè non esiste il limite, i due avrebbero dovuto coincidere.
Differisce ad esempio il caso $lim_{x->0} 1/x^2$, che vale $+oo$ indipendentemente dal "lato" cui si tende a $0$ ( $1/x^2$ è pari ).
Nel caso $RR^2$ la situazione è ancora più complicata, in quanto il limite, per esistere, deve essere uguale non solo lungo le direzioni assiali, ma anche lungo qualsiasi cammino curvilineo si intraprenda per avvicinarsi al punto critico ( rette, parabole, iperboli.. etc etc ).
Differisce ad esempio il caso $lim_{x->0} 1/x^2$, che vale $+oo$ indipendentemente dal "lato" cui si tende a $0$ ( $1/x^2$ è pari ).
Nel caso $RR^2$ la situazione è ancora più complicata, in quanto il limite, per esistere, deve essere uguale non solo lungo le direzioni assiali, ma anche lungo qualsiasi cammino curvilineo si intraprenda per avvicinarsi al punto critico ( rette, parabole, iperboli.. etc etc ).
grazie. e nel caso della funzione $lim_((x,y) -> (0,0)) (x^2-y^2)/(x^2+y^2+1)$ con $lim_(x -> 0) x^2/(x^2+1) = 0$ e nel caso di $lim_(y ->0) -y^2/(Y^2+1)$ è giusto dire $= -0$ (nel senso che tende dalla parte sinistra dello 0) oppure 0 non ha segno e quindi il limite esiste?
Chiedo scusa per l'eventuale cavolata detta, ma è da qualche anno che non faccio più matematica, l'ho ripresa adesso, e mi sono accorto di essere molto arrugginito.
Chiedo scusa per l'eventuale cavolata detta, ma è da qualche anno che non faccio più matematica, l'ho ripresa adesso, e mi sono accorto di essere molto arrugginito.
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