Dubbi Limiti in Due Variabili
Buonasera ragazzi, mi ritrovo ad affrontare il seguente esercizio e ho dei dubbi sui miei svolgimenti :
Trovare il limite, se esiste, oppure dimostrare che non esiste
1)$lim_(x->1,y->0) ((1-e^{x^3y^2})/ (x^6+y^4))$, cambio variabili $a=x-1$ e , per coerenza, $ b=y$ in modo da avere
$lim_(a->0,b->0) ((1-e^{(a+1)^3 (b)^2})/ ((a+1)^6+b^4))$. Per questi valori, $a->0, b->0$ il numeratore è asintotico a $- (a+1)^3 b^2$ e il denominatore rimane invariato. Cerco una funzione per maggiorare quella che ho nella seguente maniera:
$((a+1)^3b^2)/((a+1)^6+b^4 )<= ((a+1)^3 b^2)/(a+1)^6= b^2/ (a+1)^3$ che per $a->0, b->0$ va a zero. Quindi il limite esiste ed è zero;
2) $lim_(x->2,y->1) ((x-2)^4 (y-1)^5)/[((x-2)^2+(y-1)^2)]^(7/2)$, effettuo un cambio di variabile $x-2=a, y-1=b$ tale da avere:
$lim_(a->0,b->0) (a^4 b^5)/[(a^2+b^2)]^(7/2)$, ora passo alle coordinate polari $a=\rhocos\theta, b=\rhosin\theta$ tale che :
$lim_(\rho->0) \rho^2 cos^4\theta sin^5 \theta $ ; quest'ultima funzione è maggiorata da $\rho^2$ che va a zero quando $\rho-> 0 $ ;
3) $lim_(x->2,y->0) (y^3 sin^2(x-2))/(x^2-4x+4+y^2)$ , cambio di variabile: $a=x-2, y=b$ tale che :
$lim_(a->0,b->0) (b^3 sin^2(a))/(a^2+b^2)$ . Ora utilizzo il criterio del confronto, ottenendo:
$|b^3 sin^2(a)|/ (a^2+b^2)<= |b^3|/ (a^2+b^2)<= |b^3| / b^2= b $ che per $a->0,b->0$ va a zero. Il limite esiste ed è zero.
4) $lim_(x->0,y->0) ( (|x|)^(1/2) y )/(x^2+y^2)^(1/2)$ , passo alle coordinate polari ottenendo :
$lim_(\rho->0) ( ( |\rhocos\theta |)^(1/2) \rho sin\theta ) / \rho $ tale funzione sarà uguale ad $ |\rho|^(1/2) (|cos\theta|)^(1/2) sin\theta<= |\rho|^1/2 -> 0 $ quando $\rho ->0 $
Che ne pensate?
grazie mille a tutti
Trovare il limite, se esiste, oppure dimostrare che non esiste
1)$lim_(x->1,y->0) ((1-e^{x^3y^2})/ (x^6+y^4))$, cambio variabili $a=x-1$ e , per coerenza, $ b=y$ in modo da avere
$lim_(a->0,b->0) ((1-e^{(a+1)^3 (b)^2})/ ((a+1)^6+b^4))$. Per questi valori, $a->0, b->0$ il numeratore è asintotico a $- (a+1)^3 b^2$ e il denominatore rimane invariato. Cerco una funzione per maggiorare quella che ho nella seguente maniera:
$((a+1)^3b^2)/((a+1)^6+b^4 )<= ((a+1)^3 b^2)/(a+1)^6= b^2/ (a+1)^3$ che per $a->0, b->0$ va a zero. Quindi il limite esiste ed è zero;
2) $lim_(x->2,y->1) ((x-2)^4 (y-1)^5)/[((x-2)^2+(y-1)^2)]^(7/2)$, effettuo un cambio di variabile $x-2=a, y-1=b$ tale da avere:
$lim_(a->0,b->0) (a^4 b^5)/[(a^2+b^2)]^(7/2)$, ora passo alle coordinate polari $a=\rhocos\theta, b=\rhosin\theta$ tale che :
$lim_(\rho->0) \rho^2 cos^4\theta sin^5 \theta $ ; quest'ultima funzione è maggiorata da $\rho^2$ che va a zero quando $\rho-> 0 $ ;
3) $lim_(x->2,y->0) (y^3 sin^2(x-2))/(x^2-4x+4+y^2)$ , cambio di variabile: $a=x-2, y=b$ tale che :
$lim_(a->0,b->0) (b^3 sin^2(a))/(a^2+b^2)$ . Ora utilizzo il criterio del confronto, ottenendo:
$|b^3 sin^2(a)|/ (a^2+b^2)<= |b^3|/ (a^2+b^2)<= |b^3| / b^2= b $ che per $a->0,b->0$ va a zero. Il limite esiste ed è zero.
4) $lim_(x->0,y->0) ( (|x|)^(1/2) y )/(x^2+y^2)^(1/2)$ , passo alle coordinate polari ottenendo :
$lim_(\rho->0) ( ( |\rhocos\theta |)^(1/2) \rho sin\theta ) / \rho $ tale funzione sarà uguale ad $ |\rho|^(1/2) (|cos\theta|)^(1/2) sin\theta<= |\rho|^1/2 -> 0 $ quando $\rho ->0 $
Che ne pensate?
grazie mille a tutti
Risposte
Direi impeccabile 
tieniti strette le maggiorazioni perchè, se mai farai Analisi Reale, ti salverà la pellaccia
Tanto per la cronaca, io, essendo pigro, avrei detto:
1) il denominatore va ad 1 ed il numeratore a 0, quindi non c'è forma di indecisione
2,3,4) num e den vanno entrambi a zero come polinomi ma il num ci va con grado maggiore, quindi il limite è 0.
Ma tu sei stato molto più diligente e meriti una lode.
tieniti strette le maggiorazioni perchè, se mai farai Analisi Reale, ti salverà la pellaccia Tanto per la cronaca, io, essendo pigro, avrei detto:
1) il denominatore va ad 1 ed il numeratore a 0, quindi non c'è forma di indecisione
2,3,4) num e den vanno entrambi a zero come polinomi ma il num ci va con grado maggiore, quindi il limite è 0.
Ma tu sei stato molto più diligente e meriti una lode.
sera IlPolloDiGödel, quasi non ci credo di averli fatti in modo corretto, sei sicuro? 
Ho un dubbio su questo limite, sempre a due variabili:
$lim_(x->1, y->0) log(1+x^3y^2)/(x^2+y^2)$ , effettuo, come al solito, un cambio di variabile, cioè $a=x-1, b=y$ per ottenere:
$lim_(a->0, b->0) log(1+(a+1)^3 b^2)/((a+1)^2+b^2)$. Fatto ciò, uso il limite notevole del logaritmo per il numeratore e lascio il denominatore uguale . Riscrivo il limite, $lim_(a->0, b->0) ((a+1)^3 b^2)/((a+1)^2+b^2)$. Ora, utilizzo il criterio del confronto:
$((a+1)^3 b^2)/((a+1)^2+b^2)<= ((a+1)^3 b^2)/(b^2)= (a+1)^3 $ e per $a->0, b->0$ questo limite esiste ed è 1.
Tuttavia provando a cambiare il denominatore nel confronto , ottengo $((a+1)^3 b^2)/((a+1)^2+b^2)<= ((a+1)^3 b^2)/ (a+1)^3 = (a+1) b^2 $ e questo va a 0 per $a->0, b->0$.
Non so come uscirne da questa cosa e non vorrei sparare qualche cavolata, vista l'ora! Grazie mille
Ho un dubbio su questo limite, sempre a due variabili:
$lim_(x->1, y->0) log(1+x^3y^2)/(x^2+y^2)$ , effettuo, come al solito, un cambio di variabile, cioè $a=x-1, b=y$ per ottenere:
$lim_(a->0, b->0) log(1+(a+1)^3 b^2)/((a+1)^2+b^2)$. Fatto ciò, uso il limite notevole del logaritmo per il numeratore e lascio il denominatore uguale . Riscrivo il limite, $lim_(a->0, b->0) ((a+1)^3 b^2)/((a+1)^2+b^2)$. Ora, utilizzo il criterio del confronto:
$((a+1)^3 b^2)/((a+1)^2+b^2)<= ((a+1)^3 b^2)/(b^2)= (a+1)^3 $ e per $a->0, b->0$ questo limite esiste ed è 1.
Tuttavia provando a cambiare il denominatore nel confronto , ottengo $((a+1)^3 b^2)/((a+1)^2+b^2)<= ((a+1)^3 b^2)/ (a+1)^3 = (a+1) b^2 $ e questo va a 0 per $a->0, b->0$.
Non so come uscirne da questa cosa e non vorrei sparare qualche cavolata, vista l'ora! Grazie mille
innanzitutto nota che $ log(1+x^3y^2)/(x^2+y^2) $ è positiva, almeno in un intornino del punto in cui calcoli il limite (questa positività spesso è molto comoda, se c'è tienitela cara )
nota anche che non c'è forma di indecisione: il denominatore va ad 1 e non c'è modo di annullarlo, quindi almeno il sospetto che il limite vada a 0 ti deve venire
Infine, tu hai ottenuto un limite che va ad 1, ma quello è il limite della MAGGIORANTE; quello che sai, calcolando quel limite, è che il tuo limite finale sarà MINORE o uguale ad 1 le maggiorazioni sono utili, ma il limite di una maggiorante non è detto sia il limite effettivo; si usa molto spesso per escludere la divergenza, raramente per calcolare effettivamente il limite, a meno che non la accoppi con una minorante che abbia lo stesso limite.
In sostanza, la maggiorazione che ti serve davvero è la seconda: hai una maggiorante il cui limite è zero, la funzione è positiva quindi il suo limite è sicuramente maggiore o uguale a zero, fine, il limite è zero
)nota anche che non c'è forma di indecisione: il denominatore va ad 1 e non c'è modo di annullarlo, quindi almeno il sospetto che il limite vada a 0 ti deve venire
Infine, tu hai ottenuto un limite che va ad 1, ma quello è il limite della MAGGIORANTE; quello che sai, calcolando quel limite, è che il tuo limite finale sarà MINORE o uguale ad 1
le maggiorazioni sono utili, ma il limite di una maggiorante non è detto sia il limite effettivo; si usa molto spesso per escludere la divergenza, raramente per calcolare effettivamente il limite, a meno che non la accoppi con una minorante che abbia lo stesso limite.In sostanza, la maggiorazione che ti serve davvero è la seconda: hai una maggiorante il cui limite è zero, la funzione è positiva quindi il suo limite è sicuramente maggiore o uguale a zero, fine, il limite è zero
Grazie mille, davvero! Grazie, grazie,grazie 
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