Dubbi intervallo di convergenza
sia data la seguente serie:
$sum_{n=1}^oo sqrt(nx+1)/(n^2+1)$ studiare la convergenza puntuale ed uniforme.
Non mi è chiara una cosa nello studio di questa serie:
confronto la serie data con la serie $sum_{n=1}^oo 1/sqrtn$ (Posso effettuare questo passaggio dato che la serie data non è una serie a termini positivi?)
il limite per $n to oo$ delle due serie risulta uguale a $0$. Perciò la serie di partenza converge puntualmente su tutto $RR$. Ma nella serie abbiamo una radice quadrata che non ammette valori negativi. Quindi la serie converge puntualmente in $[0,+oo)$?sono un pò confuso.
$sum_{n=1}^oo sqrt(nx+1)/(n^2+1)$ studiare la convergenza puntuale ed uniforme.
Non mi è chiara una cosa nello studio di questa serie:
confronto la serie data con la serie $sum_{n=1}^oo 1/sqrtn$ (Posso effettuare questo passaggio dato che la serie data non è una serie a termini positivi?)
il limite per $n to oo$ delle due serie risulta uguale a $0$. Perciò la serie di partenza converge puntualmente su tutto $RR$. Ma nella serie abbiamo una radice quadrata che non ammette valori negativi. Quindi la serie converge puntualmente in $[0,+oo)$?sono un pò confuso.
Risposte
Allora, in primis hai giustamente osservato che essendoci una radice, le funzioni della serie non sono ovunque calcolabili, ergo non avrebbe lì significato studiarne la convergenza, perchè non puoi calcolarne le somme parziali, l'insieme che si considera è sempre quello in cui tutte le funzioni sono definite. Quindi in questo caso si deve considerare l'intervallo $[0,+oo)$.
Poi il confronto che ti ha portato a desumere che la serie è puntualmente convergente non è corretto, perchè la serie che consideri per confrontare è non convergente. Devi provare a fare invece un confronto asintotico con una serie i cui termini sono questi: $1/sqrt(n^3)$, questa invece converge, e se provi a fare il limite del rapporto tra i termini della serie data con questa ti accorgi che è anche finito, ergo converge anche la serie data, e puntualmente nell'intervallo da te scritto. L'uniforme convergenza mi sembra ad occhio di poterla sicuramente avere negli intervalli chiusi del tipo $[0,a]$ quale che sia $a>0$, ma nell'insieme di definzione bisogna lavorarci un pochino di più per negarla o confermarla. Ciao
Poi il confronto che ti ha portato a desumere che la serie è puntualmente convergente non è corretto, perchè la serie che consideri per confrontare è non convergente. Devi provare a fare invece un confronto asintotico con una serie i cui termini sono questi: $1/sqrt(n^3)$, questa invece converge, e se provi a fare il limite del rapporto tra i termini della serie data con questa ti accorgi che è anche finito, ergo converge anche la serie data, e puntualmente nell'intervallo da te scritto. L'uniforme convergenza mi sembra ad occhio di poterla sicuramente avere negli intervalli chiusi del tipo $[0,a]$ quale che sia $a>0$, ma nell'insieme di definzione bisogna lavorarci un pochino di più per negarla o confermarla. Ciao
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