Dubbi integrali di superficie
Dunque è tutto il giorno che studio questa parte.. penso di aver capito in buona parte...anche se il libro è eccessivamente sintetico , e su internet non c'è moltissimo . Comunque riporto un esercizio svolto , e uno che non riesco ad impostare :
(1)
si calcoli l'area della porzione di superficie del paraboloide di rotazione $ z=x^2+y^2 $
con $ 0<=z<=2 $
io ho posto :
$ f(x,y)=x^2+y^2=z $
$ 0<=x^2+y^2<=2 $
quest'ultima equazione dovrebbe essere la zona in cui si proietta la superficie ...
quindi ho calcolato le due derivate della funzione e ho usato la formula :
$ int int_(U)sqrt(1+4x^2 +4y^2)dx dy= int int_(Q)sqrt(1+4rho^2cos^2theta+4rho^2sen^2theta)rhodrhod theta=13pi/3 $
Dove $ thetain[0,2pi] ;rhoin[0,sqrt(2)] $
E' giusto secondo voi?
(2) L'altro invece è un integrale di superficie :
$ int_(S) x^3e^zdsigma $
Dove S è la porzione della superficie del cilindro di equazione $ x^2 + y^2 = 4 $
delimitata dai piani z=0 , z=3 e contenuta nel semispazio $ x>= 0 $
Ora questa porzione dovrebbe essere uno spicchio di cilindro , quindi ho pensato di doverla parametrizzare tramite le coordinate cilindriche , e fissando il raggio che è uguale a 2 avrei :
$ { ( x=2costheta ),( y=2sentheta ),( z=z):} $
cioè l'obbiettivo è descriverla tramite i due parametri theta e zeta .
e mentre $ 0<=z<=3 $
mi è come al solito difficile individuare l'intervallo in cui varia theta ,
ho notato la diseguaglianza imposta dal problema che in coordinate cilindrica diventa :
$ 2costheta>=0 $
però questo non penso mi permetta di concludere che
$ 0<=theta<=pi/2 $
perché il coseno è positivo anche nel quarto quadrante ...
comunque mi sono fermato qua .
Sennò c'è un modo per risolvere il tutto in forma cartesiana? se si quale?
la funzione che descrive la superficie potrebbe essere proprio quella del cilindro ...
ma non saprei
(1)
si calcoli l'area della porzione di superficie del paraboloide di rotazione $ z=x^2+y^2 $
con $ 0<=z<=2 $
io ho posto :
$ f(x,y)=x^2+y^2=z $
$ 0<=x^2+y^2<=2 $
quest'ultima equazione dovrebbe essere la zona in cui si proietta la superficie ...
quindi ho calcolato le due derivate della funzione e ho usato la formula :
$ int int_(U)sqrt(1+4x^2 +4y^2)dx dy= int int_(Q)sqrt(1+4rho^2cos^2theta+4rho^2sen^2theta)rhodrhod theta=13pi/3 $
Dove $ thetain[0,2pi] ;rhoin[0,sqrt(2)] $
E' giusto secondo voi?
(2) L'altro invece è un integrale di superficie :
$ int_(S) x^3e^zdsigma $
Dove S è la porzione della superficie del cilindro di equazione $ x^2 + y^2 = 4 $
delimitata dai piani z=0 , z=3 e contenuta nel semispazio $ x>= 0 $
Ora questa porzione dovrebbe essere uno spicchio di cilindro , quindi ho pensato di doverla parametrizzare tramite le coordinate cilindriche , e fissando il raggio che è uguale a 2 avrei :
$ { ( x=2costheta ),( y=2sentheta ),( z=z):} $
cioè l'obbiettivo è descriverla tramite i due parametri theta e zeta .
e mentre $ 0<=z<=3 $
mi è come al solito difficile individuare l'intervallo in cui varia theta ,
ho notato la diseguaglianza imposta dal problema che in coordinate cilindrica diventa :
$ 2costheta>=0 $
però questo non penso mi permetta di concludere che
$ 0<=theta<=pi/2 $
perché il coseno è positivo anche nel quarto quadrante ...
comunque mi sono fermato qua .
Sennò c'è un modo per risolvere il tutto in forma cartesiana? se si quale?
la funzione che descrive la superficie potrebbe essere proprio quella del cilindro ...
ma non saprei
Risposte
Dunque mi è praticamente tutto chiaro...
nel secondo esercizio , l'intervallo dell'angolo era la mia difficoltà , tu hai preso
$ thetain[-pi/2,pi/2] $ basandoti sulla diseguaglianza $ x>=0 $ ?
cioè il coseno è positivo tra 4 e primo quadrante , se avessi scritto tra 3/2 pi e pi/2
avrei scritto una cavolata senza significato...però così ha senso ...
grazie mille!
nel secondo esercizio , l'intervallo dell'angolo era la mia difficoltà , tu hai preso
$ thetain[-pi/2,pi/2] $ basandoti sulla diseguaglianza $ x>=0 $ ?
cioè il coseno è positivo tra 4 e primo quadrante , se avessi scritto tra 3/2 pi e pi/2
avrei scritto una cavolata senza significato...però così ha senso ...
grazie mille!
Chiarissimo 
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