Dubbi funzioni continue

[matematicamenteparlando]

Ciao a tutti,ho due domande per voi riguardo le funzioni continue:

1)Allora riguardo la continuità in un punto ho capito il meccanismo e bisogna applicare la definizione;se invece devo dimostrare che una funzione è continua in un intervallo come faccio? non posso mica verificare la continuità per ogni singolo punto dell'intervallo stesso

2)la funzione $1/x$ è continua o no in x=0? no perché sul mio libro dice che nel punto $x=0$ non è ne continua ne discontinua poiché $0$ non appartiene al dominio,mentre "girando" su internet alcuni dicono che è discontinua in $x=0$

Vi ringrazio molto per l'attenzione e disponibilità

[Antimius]

Quella funzione non è definita in $0$, quindi non ha senso chiedersi se è continua o meno in quel punto.
Per gli altri punti, osservi che è il reciproco di una funzione continua ($x$), quindi è continua.

[gabriella127]

"matematicamenteparlando": sul mio libro dice che nel punto $x=0$ non è ne continua ne discontinua poiché $0$ non appartiene al dominio,mentre "girando" su internet alcuni dicono che è discontinua in $x=0$

Però è diffuso dire che una funzione non definita in un punto è discontinua in quel punto, l'ho sentito dire anche a professori, si tratta di intendersi

[matematicamenteparlando]

Si ok quindi riguardo il secondo punto bisogna solo mettersi d'accordo col prof.

Riguardo il primo punto non mi riferivo in particolare alla funzione $1/x$ ma in generale;cioè io ho una funzione $f(x)$ come faccio a vedere se in un determinato intervallo del suo dominio essa è continua o no

[Antimius]

In generale lo vedi "a occhio", se è somma, prodotto, rapporto (dove il denominatore è non nullo) o composizione di funzioni continue.
Se ci sono dei "punti dubbi" (ad esempio se la funzione è definita a tratti), quelli li studi a parte come sai già fare.