Dubbi esercizio sui sviluppi di Taylor
Salve a tutti , sto facendo degli esercizi sugli sviluppi di taylor ma non capisco una cosa . L'esercizio dice :
-Utilizzando gli sviluppi fondamentali, calcolare gli sviluppi di McLaurin (con resto di Peano)
delle funzioni seguenti fino all’ ordine n indicato:
$ f(x) = cos(x^2) $ fino a n = 10
Lo sviluppo notevole del coseno è :
$ cos z = 1 - z^2 / (2!) + z^4 / (4!) + ...+ (-1)^n (z^(2n)) / (2n!) + o(z^(2n)) $
posso troncare lo sviluppo fondamentale al termine in $ z^4 $
$ cos z = 1 - z^2 / (2!) + z^4 / (4!) + o(z^4) $
Sostituiamo z = $ x^2 $
$ cos(x^2) = 1 - (x^4)/(2!) + (x^8) / (4!) $
il mio problema è questo
" o piccolo" dovrebbe essere $ o(x^10) $ visto che bisogna arrivare a n = 10 però sostituendo $ x^2 $ a $ o(z^4) $ ottengo $ o(x^8) $ . Non riesco a capire dove sbaglio e come faccio a ottenere l' o piccolo giusto.
Qualcuno potrebbe gentilmente aiutarmi ? Grazie in anticipo a chi mi risponderà
-Utilizzando gli sviluppi fondamentali, calcolare gli sviluppi di McLaurin (con resto di Peano)
delle funzioni seguenti fino all’ ordine n indicato:
$ f(x) = cos(x^2) $ fino a n = 10
Lo sviluppo notevole del coseno è :
$ cos z = 1 - z^2 / (2!) + z^4 / (4!) + ...+ (-1)^n (z^(2n)) / (2n!) + o(z^(2n)) $
posso troncare lo sviluppo fondamentale al termine in $ z^4 $
$ cos z = 1 - z^2 / (2!) + z^4 / (4!) + o(z^4) $
Sostituiamo z = $ x^2 $
$ cos(x^2) = 1 - (x^4)/(2!) + (x^8) / (4!) $
il mio problema è questo
" o piccolo" dovrebbe essere $ o(x^10) $ visto che bisogna arrivare a n = 10 però sostituendo $ x^2 $ a $ o(z^4) $ ottengo $ o(x^8) $ . Non riesco a capire dove sbaglio e come faccio a ottenere l' o piccolo giusto.
Qualcuno potrebbe gentilmente aiutarmi ? Grazie in anticipo a chi mi risponderà
Risposte
Pensaci un secondo: all'interno di "o piccolo" il primo termine che comparirà sarà quello della potenza successiva nello sviluppo. Visto che l'ultima che hai scritto è $x^8$, sicuramente il primo termine a comparirvi sarà $x^{12}$ che risulta sicuramente $o(x^{10})$. Indicare con $x^8$, $x^{10}$ o $x^{12}$ ciò che c'è dentro "o piccolo" risulta (a conti fatti) indifferente, anche perché se ci pensi, nello sviluppo generale che hai scritto, se volessimo esplicitare "o piccolo" potremmo scrivere $o(z^{2n})=(-1)^{n+1} z^{2n+2}/{(2n+1)!}+...$ che, come vedi, in realtà contiene potenze di ordine superiore rispetto a quelle indicate.
Ciao , grazie mille per la risposta . Vorrei chiederti una cosa , se ho $ f(x) = e^(x^3) - 1 - sin(x^3) $ fino a n = 12
Per lo sviluppo dell'esponenziale mi fermo all'ordine 4
$ e^z = 1 + z +z^2 / (2!) + z^3 /(3!) + z^4 / (4!) + o(z^4) $
Per quello del seno all'ordine 3
$ sin(z) = z - z^3 /(3!) + o(z^4) $
Nell'esponenziale ho $ o(z^4) $ perché il primo termine della potenza successiva , cioè $(z^5) $ è o piccolo di $ o(z^4) $ e non perché mi fermo esattamente al temine $ (z^4) $ ?
Quindi nello sviluppo del seno sbaglierei se scrivessi $ o(z^3) $?
Scusa per tutte le domande
Per lo sviluppo dell'esponenziale mi fermo all'ordine 4
$ e^z = 1 + z +z^2 / (2!) + z^3 /(3!) + z^4 / (4!) + o(z^4) $
Per quello del seno all'ordine 3
$ sin(z) = z - z^3 /(3!) + o(z^4) $
Nell'esponenziale ho $ o(z^4) $ perché il primo termine della potenza successiva , cioè $(z^5) $ è o piccolo di $ o(z^4) $ e non perché mi fermo esattamente al temine $ (z^4) $ ?
Quindi nello sviluppo del seno sbaglierei se scrivessi $ o(z^3) $?
Scusa per tutte le domande
Mi sa che ti devi rileggere la definizione di "o piccolo". In pratica dire che una funzione $f=o(x^n)$ sta ad indicare che, nello sviluppo, le potenze con cui scrivi $f$ sono tutte superiori a $n$. Pertanto, nello sviluppo del seno va scritto $o(z^3)$ per cui all'interno di tale termine stai ad indicare che tutte le potenze sono superiori a $3$.
Si hai decisamente ragione , devo rileggermi l'argomento . Grazie mille
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