Dubbi esercizi limiti

[guitar_joker11]

Ciao a tutti! Avrei dei problemini con esercizi vari sui limiti. Eccone alcuni in cui ho più difficoltà:

$lim_(x->1) (x^4+2x^3+x^2-x-3)/(1+cos(\pix))$
In questo avrei pensato di raccogliere il termini di grado maggiore al numeratore, mentre ad denominatore avrei pensato di poter ricorrrere a qualche formula trigonometrica per districarmi, ma poi come potrei fare per semplificare con il numeratore?


$lim_(x->infty) (x+5)/(sqrt(x+2))*log((2x+3)/(2x+sqrt(x)))
In quest'altro invece non saprei proprio da dove cominciare, magari risolvendo prima il logaritmo ma poi mi ritrovo con una espressione che mi da ancora una forma indeterminata.

$lim_(x->infty) x^2*(3-2*sen(x))$
Anche qui avrei pensato a qualche formula trigonometrica, ma non riesco a venirne a capo.

Ammetto di avere abbastanza confusione in testa..spero riusciate a darmi una mano. Grazie in anticipo, ciao ciao.

[K.Lomax]

Nel primo puoi sviluppare il coseno con Taylor.
Nel secondo ti consiglio di utilizzare il confronto tra infiniti.
Nel terzo devi tenere conto che le funzioni trigonometriche sono sempre limitate in quanto [tex]-1\leq\sin x\leq1[/tex]

[Giuly191]

"K.Lomax":Nel primo puoi sviluppare il coseno con Taylor.

In un intorno di 1? Io piuttosto sostituirei $ x=t+1$ in modo da avere t che tendo a 0 per x che tende a 1. A quel punto sì, potrebbe essere utile sviluppare!

[guitar_joker11]

Ok, sul terzo ci sono: siccome l'espressione dentro parentesi è sempre maggiore di 1, posso affermare che il limite è $+infty$..giusto?

Gli altri due ancora mi perplettono..provate a spiegarmelo come se avessi sei anni.. ..no sul serio mi servirebbero almeno un paio di passaggi per capire..

[K.Lomax]

"Giuly19":[quote="K.Lomax"]Nel primo puoi sviluppare il coseno con Taylor.

In un intorno di 1? Io piuttosto sostituirei $ x=t+1$ in modo da avere t che tendo a 0 per x che tende a 1. A quel punto sì, potrebbe essere utile sviluppare![/quote]

Mmmhh, puoi sviluppare dove vuoi purchè lo si faccia in maniera corretta. La sostituzione richiederebbe che tu la effettui anche a numeratore con ulteriore complicazione dal momento che, posto [tex]x=t+1[/tex], per [tex]t\to0[/tex] ti interesserebbero i coefficienti di grado più piccolo e quindi saresti costretta a svolgere i quadrati.
Al limite puoi notare che [tex]1+\cos(\pi x)=1-\cos[\pi(x-1)][/tex] ed imponendo [tex]t=\pi x-\pi[/tex] puoi sviluppare il termine [tex]1-\cos(t)[/tex] con [tex]t\to0[/tex] salvo poi al termine dello sviluppo risostituire.

[ck91]

curiosità il primo quanto dovrebbe venire?

[itpareid]

per il primo proverei de l'Hopital e poi a fare limite dx e sx

[guitar_joker11]

"itpareid":per il primo proverei de l'Hopital e poi a fare limite dx e sx

Se invece non potessi usare de l'Hopital nella risoluzione? Ci sarebbe poi un modo di risolverlo senza formule di Taylor?

"K.Lomax":
Nel primo puoi sviluppare il coseno con Taylor.
Nel secondo ti consiglio di utilizzare il confronto tra infiniti.
Nel terzo devi tenere conto che le funzioni trigonometriche sono sempre limitate in quanto -1\leq\sin x\leq1

Riguardo al secondo applicando il confronto tra infiniti nella prima parte del limite ottengo un infinito. Mentre per risolvere il logaritmo avevo pensato al limite notevole $lim_{x to infty} log(1+x)/x=1$.
Il ragionamento è corretto? Se si allora ci lavoro sopra. Non vorrei andare ad impellagarmi in calcoli inutili, per poi ritrovarmi al punto di partenza.

[K.Lomax]

Allora, per il secondo, il limite notevole che hai scritto è errato, in quanto:

[tex]\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\log(1+f(x))}{f(x)}=1[/tex]

se [tex]\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)=0[/tex]

Per sfruttarlo puoi fare questo trucchetto:

[tex]\log\left(\frac{2x+3}{2x+\sqrt{x}}\right)=\log\left(1-1+\frac{2x+3}{2x+\sqrt{x}}\right)=\log\left(1+\frac{3-\sqrt{x}}{2x+\sqrt{x}}\right)[/tex]