Dubbi es. successioni di funzioni
Ciao ragazzi. In preparazione all'esame sto facendo un bel po' di esercizi sulle successioni di funzioni. Quasi tutto bene, visto che ne avrò fatti una cinquantina senza troppi problemi. Oggi però mi sono imbattuto in questo:
$ f_n(x)= (x+e^((n+1)x))/e^(nx) $ in $ I=[0; +\infty) $
Ora, dato che:
$ lim_(n -> + \infty) f_n(x)=e^x , \forall x \in I$
posso dire che $f_n(x)$ converge puntualmente a $f(x)=e^x$ in $I$. Quanto alla convergenza uniforme, inizio con il valutare:
$ || f_n(x)-f(x)|| _\infty = Sup |(x+e^((n+1)x))/e^(nx)-e^(x)|= Sup |x/e^(nx)| $ (dove il $Sup$ è su $I$; qual è il codice per scriverlo?)
e, andando a studiarla, vedo che presenta un massimo in corrispondenza di $x=1/n$, quindi:
$ lim_(n -> + \infty)|| f_n(x)-f(x)|| _\infty = lim_(n -> + \infty) f_n(1/n)= lim_(n -> + \infty) ((1/n)+e^((n+1)/n))/e=1$
A questo punto, concludo che non c'è convergenza uniforme.
Il problema è che nel libro da cui ho tratto questo es. c'è scritto di dimostrare che la successione di funzioni di cui sopra converge uniformemente. Chi dei due sbaglia?
$ f_n(x)= (x+e^((n+1)x))/e^(nx) $ in $ I=[0; +\infty) $
Ora, dato che:
$ lim_(n -> + \infty) f_n(x)=e^x , \forall x \in I$
posso dire che $f_n(x)$ converge puntualmente a $f(x)=e^x$ in $I$. Quanto alla convergenza uniforme, inizio con il valutare:
$ || f_n(x)-f(x)|| _\infty = Sup |(x+e^((n+1)x))/e^(nx)-e^(x)|= Sup |x/e^(nx)| $ (dove il $Sup$ è su $I$; qual è il codice per scriverlo?)
e, andando a studiarla, vedo che presenta un massimo in corrispondenza di $x=1/n$, quindi:
$ lim_(n -> + \infty)|| f_n(x)-f(x)|| _\infty = lim_(n -> + \infty) f_n(1/n)= lim_(n -> + \infty) ((1/n)+e^((n+1)/n))/e=1$
A questo punto, concludo che non c'è convergenza uniforme.
Il problema è che nel libro da cui ho tratto questo es. c'è scritto di dimostrare che la successione di funzioni di cui sopra converge uniformemente. Chi dei due sbaglia?
Risposte
"Riemanniano":
[...]
e, andando a studiarla, vedo che presenta un massimo in corrispondenza di $x=1/n$, quindi:
$ lim_(n -> + \infty)|| f_n(x)-f(x)|| _\infty = lim_(n -> + \infty) f_n(1/n)= lim_(n -> + \infty) ((1/n)+e^((n+1)/n))/e=1$
[...]
C'e' qualcosa che non quadra qui: se \( g_n(x) = f_n (x) - f(x) = \frac{x}{e^{xn}} \) allora \(g_n (1/n) = \frac{1}{e n}\)...
Tu.
[ot]ma solo perchè l'ha confermato Delirium
[/ot]
[ot]ma solo perchè l'ha confermato Delirium
[/ot]
Ma certo, che scemo. Ero sicuro che ci fosse un errore stupido, ma non così tanto. 
Sono sicuramente stato "fregato" dal fatto che, in quasi tutti gli es fatti, la convergenza era a zero, cosa che mi faceva tornare a sostituire il valore alla successione di partenza. Beh dai, almeno sono sicuro che un errore (ma anche orrore) del genere non lo farò all'esame.
Ovviamente, GRAZIE per la risposta.
Ne approfitto per chiederti un parere su un altro esercizio che mi ha lasciato qualche dubbio.
$ f_n(x)= n^2/(1+n^2x^2) $ in $ I=(0; 1] $
e, facendo come prima il limite, si ha che $f_n(x)$ converge puntualmente a $f(x)=1/x^2$ in $I$. Per la convergenza uniforme, al solito:
$ || f_n(x)-f(x)|| _\infty = Sup |n^2/(1+n^2x^2)-1/x^2|= Sup |-1/(x^2(1+n^2x^2))| = Sup (1/(x^2(1+n^2x^2))) $
Ora, visto che $g_n(x)=1/(x^2(1+n^2x^2))$ è decrescente in $I$, è giusto procedere calcolandone il limite, per $ x rarr 0^+ $, vedere che vale $+infty$ e quindi concludere che $ lim_(n -> + \infty)|| f_n(x)-f(x)|| _\infty = +infty $ e dunque non c'è convergenza uniforme?
Sono sicuramente stato "fregato" dal fatto che, in quasi tutti gli es fatti, la convergenza era a zero, cosa che mi faceva tornare a sostituire il valore alla successione di partenza. Beh dai, almeno sono sicuro che un errore (ma anche orrore) del genere non lo farò all'esame.
Ovviamente, GRAZIE per la risposta.
Ne approfitto per chiederti un parere su un altro esercizio che mi ha lasciato qualche dubbio.
$ f_n(x)= n^2/(1+n^2x^2) $ in $ I=(0; 1] $
e, facendo come prima il limite, si ha che $f_n(x)$ converge puntualmente a $f(x)=1/x^2$ in $I$. Per la convergenza uniforme, al solito:
$ || f_n(x)-f(x)|| _\infty = Sup |n^2/(1+n^2x^2)-1/x^2|= Sup |-1/(x^2(1+n^2x^2))| = Sup (1/(x^2(1+n^2x^2))) $
Ora, visto che $g_n(x)=1/(x^2(1+n^2x^2))$ è decrescente in $I$, è giusto procedere calcolandone il limite, per $ x rarr 0^+ $, vedere che vale $+infty$ e quindi concludere che $ lim_(n -> + \infty)|| f_n(x)-f(x)|| _\infty = +infty $ e dunque non c'è convergenza uniforme?
Perdona il ritardo nella risposta ma, sai com'e', mi hanno bannato per una settimana.
Si' quello che dici e' sostanzialmente corretto. Si ha che, per ogni \(n \in \mathbb{N}\) fissato, \[ \sup_{x \in (0,1]} \frac{1}{x^2 (1 + x^2 n^2)} = +\infty. \]Tuttavia le cose cambiano su ogni intervallo del tipo \( [\epsilon, 1]\) con \(\epsilon > 0\). Riesci a vedere cosa succede?
"Riemanniano":
[...]
Ne approfitto per chiederti un parere su un altro esercizio che mi ha lasciato qualche dubbio.
$ f_n(x)= n^2/(1+n^2x^2) $ in $ I=(0; 1] $
e, facendo come prima il limite, si ha che $f_n(x)$ converge puntualmente a $f(x)=1/x^2$ in $I$. Per la convergenza uniforme, al solito:
$ || f_n(x)-f(x)|| _\infty = Sup |n^2/(1+n^2x^2)-1/x^2|= Sup |-1/(x^2(1+n^2x^2))| = Sup (1/(x^2(1+n^2x^2))) $
Ora, visto che $g_n(x)=1/(x^2(1+n^2x^2))$ è decrescente in $I$, è giusto procedere calcolandone il limite, per $ x rarr 0^+ $, vedere che vale $+infty$ e quindi concludere che $ lim_(n -> + \infty)|| f_n(x)-f(x)|| _\infty = +infty $ e dunque non c'è convergenza uniforme?
Si' quello che dici e' sostanzialmente corretto. Si ha che, per ogni \(n \in \mathbb{N}\) fissato, \[ \sup_{x \in (0,1]} \frac{1}{x^2 (1 + x^2 n^2)} = +\infty. \]Tuttavia le cose cambiano su ogni intervallo del tipo \( [\epsilon, 1]\) con \(\epsilon > 0\). Riesci a vedere cosa succede?
@delirium
[ot]
??
[ot]
"Delirium":[/ot]
Perdona il ritardo nella risposta ma, sai com'e', mi hanno bannato per una settimana.
??
@anto
[ot]https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=36&t=186322[/ot]
[ot]https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=36&t=186322[/ot]
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