Dubbi e problemi per l'esame di analisi 2
Salve ragazzi sono nuova del forum e vi scrivo per la prima volta per chiedervi di chiarirmi alcuni dubbi per quanto riguarda integrali curvilinei, forme differenziali, integrali doppi...ecc.
Primo dubbio:
Calcolare $int_(gamma)1/(|x|+|y|)dx+1/(|x|+|y|)dy$ dove gamma è la frontiera del quadrato $[1,-1]^2$ percorsa nel verso antiorario.
Io ho cercato di risolvere il problema disegnando la frontiera del quadrato e restringendomi al primo quadrante
.
Ho calcolato poi l'integrale curvilineo lungo CB dove x=1 e $0<=y<=1$ dx=0. Integrale che verrebbe:
$int_(0)^(1)1/(1+y)dy$=log2
Ho ripetuto l'operazione lungo AB mantenendo y costante, uguale a 1 e $0<=x<=1$.
Alla fine mi trovo 2log2.Ho esteso il risultato per simmetria moltiplicando per 4.Può andare bene?
Un'altro esercizio dove non ho saputo proprio dove iniziare,nonostante abbia studiato approfonditamente la teoria è il seguente:
Tra le forme differenziali del tipo $omega=xa(y)dx+yb(x)dy$, con $a,binC^1(R)$, determinare quelle che risultano esatte.Posto soltanto questi due esercizi.Magari più in là spero mi aiuterete su altre cose.Grazie.
Primo dubbio:
Calcolare $int_(gamma)1/(|x|+|y|)dx+1/(|x|+|y|)dy$ dove gamma è la frontiera del quadrato $[1,-1]^2$ percorsa nel verso antiorario.
Io ho cercato di risolvere il problema disegnando la frontiera del quadrato e restringendomi al primo quadrante
.Ho calcolato poi l'integrale curvilineo lungo CB dove x=1 e $0<=y<=1$ dx=0. Integrale che verrebbe:
$int_(0)^(1)1/(1+y)dy$=log2
Ho ripetuto l'operazione lungo AB mantenendo y costante, uguale a 1 e $0<=x<=1$.
Alla fine mi trovo 2log2.Ho esteso il risultato per simmetria moltiplicando per 4.Può andare bene?
Un'altro esercizio dove non ho saputo proprio dove iniziare,nonostante abbia studiato approfonditamente la teoria è il seguente:
Tra le forme differenziali del tipo $omega=xa(y)dx+yb(x)dy$, con $a,binC^1(R)$, determinare quelle che risultano esatte.Posto soltanto questi due esercizi.Magari più in là spero mi aiuterete su altre cose.Grazie.
Risposte
Ma l'integrale lungo $BA$ (devi procedere in questo verso) non è
$\int_1^0\frac{dx}{x+1}=-\log 2$ ??
Attenta a seguire il cammino: sei partita da $C$ e sei arrivata in $B$; adesso devi partire da $B$ e arrivare in $A$.
Per il secondo, invece, basta verificare quando la forma risulta chiusa su $\mathbb{R}$ e da questo ottenere che essa è anche esatta.
$\int_1^0\frac{dx}{x+1}=-\log 2$ ??
Attenta a seguire il cammino: sei partita da $C$ e sei arrivata in $B$; adesso devi partire da $B$ e arrivare in $A$.
Per il secondo, invece, basta verificare quando la forma risulta chiusa su $\mathbb{R}$ e da questo ottenere che essa è anche esatta.
ciampax innanzitutto ti ringrazio per la risposta.
Per il primo problema.Hai ragione.Che stupida! il verso è antiorario.Errore di confusione.
Per il secondo:
si dovrebbe avere che $xa'(y)=yb'(x)$ ma a che conclusione arrivo? non potresti essere leggermente più chiaro?
Per il primo problema.Hai ragione.Che stupida! il verso è antiorario.Errore di confusione.
Per il secondo:
si dovrebbe avere che $xa'(y)=yb'(x)$ ma a che conclusione arrivo? non potresti essere leggermente più chiaro?
Se indichi con $P=x\cdot a(y),\ Q=y\cdot b(x)$ affinché la forma sia chiusa allora $P_y=Q_x$ e cioè $x\cdot a'(y)=y\cdot b'(x)$, condizione che puoi anche porre nella forma $\frac{a'(y)}{y}=\frac{b'(x)}{x}$. Visto che i due membri dell'equazione dipendono, rispettivamente, solo da $x$ o da $y$, ne segue che le due funzioni possono essere uguali solo se sono entrambe costanti, cioè $\frac{a'(y)}{y}=\frac{b'(x)}{x}=k$, e quindi ne seguono le equazioni differenziali
[tex]$a'(y)=ky,\qquad b'(x)=kx$[/tex].
Le funzioni che soddisfano tali equazioni rendono la forma chiusa e quindi esatta (per un noto risultato).
[tex]$a'(y)=ky,\qquad b'(x)=kx$[/tex].
Le funzioni che soddisfano tali equazioni rendono la forma chiusa e quindi esatta (per un noto risultato).
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