Dubbi dimostrazione teorema "Ponte"
Salve a tutti, scrivo per trovare qualche consiglio nel capire la seguente dimostrazione del teorema di caratterizzazione sequenziale del limite (o teorema "Ponte").
Il teorema è enunciato e dimostrato così:
In questa parte della dimostrazione non capisco l'ultima frase, come fa da $x_n in I \\ {x_o}$ e $|x_n-x_o| < delta$, ad arrivare a \( |f(x_n) - l|< \varepsilon \)? Cioè, abbiamo solo che $x_n$ tende a $x_o$ e che $x_n$ è contenuto in I eccetto il punto $x_o$, partendo solo da questa affermazione il limite di $f(x_n)$ potrebbe anche essere diverso da l, no?
La seconda parte invece:
In questa parte non riesco a capire il perché ha preso proprio $1/n$ e non un qualsiasi altro numero, non andava bene un delta arbitrario, come sopra?
E non capisco dove e come ha applicato il Teorema del Confronto, non riesco a trovare nessun $a_n$, $b_n$ o $c_n$ per fare la diseguaglianza.
E come fa ad usare (2) per trovare che $f(x_n)-> l$, applica la parte del teorema già dimostrato ad $f(x)$? Se sì, come?
Scusate se sono cose stupide ma per qualche motivo non riesco ad arrivarci.
Grazie a tutti in anticipo!
Il teorema è enunciato e dimostrato così:
In questa parte della dimostrazione non capisco l'ultima frase, come fa da $x_n in I \\ {x_o}$ e $|x_n-x_o| < delta$, ad arrivare a \( |f(x_n) - l|< \varepsilon \)? Cioè, abbiamo solo che $x_n$ tende a $x_o$ e che $x_n$ è contenuto in I eccetto il punto $x_o$, partendo solo da questa affermazione il limite di $f(x_n)$ potrebbe anche essere diverso da l, no?
La seconda parte invece:
In questa parte non riesco a capire il perché ha preso proprio $1/n$ e non un qualsiasi altro numero, non andava bene un delta arbitrario, come sopra?
E non capisco dove e come ha applicato il Teorema del Confronto, non riesco a trovare nessun $a_n$, $b_n$ o $c_n$ per fare la diseguaglianza.
E come fa ad usare (2) per trovare che $f(x_n)-> l$, applica la parte del teorema già dimostrato ad $f(x)$? Se sì, come?
Scusate se sono cose stupide ma per qualche motivo non riesco ad arrivarci.
Grazie a tutti in anticipo!
Risposte
Provo a dirtela a parole:
Nella prima parte mi dice: $AA \delta>0 EE n_o : AA n>=n_0, x_n in B(p,\delta)$.
So anche che $AA \epsilon>0, EE \delta>0 : AA x in B(p,\delta), f(x) in B(l,\epsilon)$. ora nella prima delle due che ti ho scritto, scelgo un $\delta$ che mi soddisfa la seconda e quindi scopro che $x_n$ tende a $l$.
Nella prima parte mi dice: $AA \delta>0 EE n_o : AA n>=n_0, x_n in B(p,\delta)$.
So anche che $AA \epsilon>0, EE \delta>0 : AA x in B(p,\delta), f(x) in B(l,\epsilon)$. ora nella prima delle due che ti ho scritto, scelgo un $\delta$ che mi soddisfa la seconda e quindi scopro che $x_n$ tende a $l$.
Scusami, non ho capito, a quale domanda ti riferisci? E cosa sono B e p?
Scusa. $p$ sarebbe il tuo $x_0$ e $B(p,\delta)$ sarebbe l'intorno centrato in $p$ e raggio $\delta$, quindi $(p-\delta,p+\delta)$.
Aspetta, forse ho capito allora.
Quindi avendo:
$x_n in B(x_o, delta) $ (1)
e avendo che:
$|f(x) - l | > \varepsilon AA x in B(x_o, delta)$ (2)
Ci basta prendere $delta$ in modo che (1) soddisfi le condizioni di (2)?
Cioè in modo che $x_n$ comprenda tutti i valori di $x$ nell'intorno di $B(x_o, delta)? $
Quindi avendo:
$x_n in B(x_o, delta) $ (1)
e avendo che:
$|f(x) - l | > \varepsilon AA x in B(x_o, delta)$ (2)
Ci basta prendere $delta$ in modo che (1) soddisfi le condizioni di (2)?
Cioè in modo che $x_n$ comprenda tutti i valori di $x$ nell'intorno di $B(x_o, delta)? $
Allora...
1 $\Rightarrow$ 2. Per la definizione di limite applicata ad $f$, in corrispondenza di ogni \(\varepsilon >0\) esiste \(\delta =\delta_\varepsilon >0\) tale che l'implicazione:
\[
\tag{1}
\left. \begin{split} x &\neq x_0 \\ |x-x_0|&<\delta \end{split} \right\}\quad \Rightarrow \quad |f(x) - l|<\varepsilon
\]
vale per ogni \(x\in I\).
Ora, scegli un'arbitraria successione \((x_n)\) fatta da punti di \(I\) distinti da \(x_0\) (la quale esiste, perché \(x_0\) è di accumulazione), la quale converga ad \(x_0\).
Per definizione di limite applicata alla successione \((x_n)\), in corrispondenza del numero \(\delta >0\) determinato sopra puoi trovare \(\nu =\nu_\delta \in \mathbb{N}\) in modo che valga l'implicazione:
\[
\tag{2}
n>\nu\quad \Rightarrow \quad |x_n-x_0|<\delta\; .
\]
Nota che, poiché \(\delta\) dipende da \(\varepsilon\), l'indice \(\nu\) appena determinato dipende essenzialmente da \(\varepsilon\), cioé \(\nu =\nu_\varepsilon\).
Mettendo insieme (1) e (2) hai che in corrispondenza di \(\varepsilon >0\) riesci a determinare \(\nu =\nu_\varepsilon \in \mathbb{N}\) in guisa che:
\[
n>\nu \quad \stackrel{\text{(2)}}{\Rightarrow} \quad \left\{ \begin{split} x_n &\neq x_0 \\ |x_n -x_0|&<\delta \end{split} \right\}\quad \stackrel{\text{(1)}}{\Rightarrow} \quad |f(x_n) - l|<\varepsilon
\]
e ciò vuol dire che \(\lim_n f(x_n) = l\).
2 \(\Rightarrow\) 1. L'idea della dimostrazione è la seguente: se non fosse \(\lim_{x\to x_0} f(x) = l\), allora potresti scegliere una successione \((x_n)\) che tenda a \(x_0\) dentro \(I\) per la quale sarebbe violata la 2.
La dimostrazione è per assurdo, sicché assumi che non sia valida la definizione di limite per \(f\). Ciò implica che è valida la sua negazione, cioè la proposizione:
\[
\exists \varepsilon_0 >0:\\ \forall \delta >0,\ \exists x\in I\cap ]x_0-\delta , x_0+\delta[\setminus \{x_0\},\ |f(x) - l|\geq \varepsilon_0\; .
\]
Dato che la quantità \(\delta\) è quantificata da \(\forall\), la proposizione precedente è vera comunque tu voglia fissare \(\delta\).
In particolare, essa è vera per tutti gli elementi \(\delta_n\) di una successione infinitesima di numeri positivi (cioè \(\delta_n >0\) e \(\lim_n \delta_n =0\))[nota]Sul tuo libro c'è la scelta particolare \(\delta_n= \frac{1}{n}\), ma questa è solo una delle infinite scelte possibili... Ad esempio, ti vanno bene anche le successioni \(\delta_n = 2^{-n}\), \(\delta_n =\sin \frac{1}{n}\), \(\delta_n = \log \frac{n+1}{n}\), ...
[/nota]: perciò, in corrispondenza di ognuno di tali \(\delta_n\), puoi scegliere un \(x_{\delta_n} = x_n \in I\) in modo che:
\[
x_n \neq x_0,\ x_0-\delta_n
Hai così costruito una successione \((x_n)\) fatta da punti di \(I\), tutti diversi da \(x_0\) che gode della proprietà:
\[
\forall n\in \mathbb{N},\quad x_0-\delta-n
la quale, per il Teorema dei Carabinieri, implica \(\lim_n x_n = x_0\); inoltre si ha:
\[
|f(x_n) - l|\geq \varepsilon_0
\]
cosicché la successione di termine generale \(f(x_n)\) non può convergere ad \(l\). In tal modo, la tua successione \((x_n)\) vìola la 2, ma ciò è assurdo perché stai supponendo che 2 valga per ogni successioni di elementi di \(I\) che approssima \(x_0\).
Dunque \(\lim_{x\to x_0} f(x) =l\), come volevi.
1 $\Rightarrow$ 2. Per la definizione di limite applicata ad $f$, in corrispondenza di ogni \(\varepsilon >0\) esiste \(\delta =\delta_\varepsilon >0\) tale che l'implicazione:
\[
\tag{1}
\left. \begin{split} x &\neq x_0 \\ |x-x_0|&<\delta \end{split} \right\}\quad \Rightarrow \quad |f(x) - l|<\varepsilon
\]
vale per ogni \(x\in I\).
Ora, scegli un'arbitraria successione \((x_n)\) fatta da punti di \(I\) distinti da \(x_0\) (la quale esiste, perché \(x_0\) è di accumulazione), la quale converga ad \(x_0\).
Per definizione di limite applicata alla successione \((x_n)\), in corrispondenza del numero \(\delta >0\) determinato sopra puoi trovare \(\nu =\nu_\delta \in \mathbb{N}\) in modo che valga l'implicazione:
\[
\tag{2}
n>\nu\quad \Rightarrow \quad |x_n-x_0|<\delta\; .
\]
Nota che, poiché \(\delta\) dipende da \(\varepsilon\), l'indice \(\nu\) appena determinato dipende essenzialmente da \(\varepsilon\), cioé \(\nu =\nu_\varepsilon\).
Mettendo insieme (1) e (2) hai che in corrispondenza di \(\varepsilon >0\) riesci a determinare \(\nu =\nu_\varepsilon \in \mathbb{N}\) in guisa che:
\[
n>\nu \quad \stackrel{\text{(2)}}{\Rightarrow} \quad \left\{ \begin{split} x_n &\neq x_0 \\ |x_n -x_0|&<\delta \end{split} \right\}\quad \stackrel{\text{(1)}}{\Rightarrow} \quad |f(x_n) - l|<\varepsilon
\]
e ciò vuol dire che \(\lim_n f(x_n) = l\).
2 \(\Rightarrow\) 1. L'idea della dimostrazione è la seguente: se non fosse \(\lim_{x\to x_0} f(x) = l\), allora potresti scegliere una successione \((x_n)\) che tenda a \(x_0\) dentro \(I\) per la quale sarebbe violata la 2.
La dimostrazione è per assurdo, sicché assumi che non sia valida la definizione di limite per \(f\). Ciò implica che è valida la sua negazione, cioè la proposizione:
\[
\exists \varepsilon_0 >0:\\ \forall \delta >0,\ \exists x\in I\cap ]x_0-\delta , x_0+\delta[\setminus \{x_0\},\ |f(x) - l|\geq \varepsilon_0\; .
\]
Dato che la quantità \(\delta\) è quantificata da \(\forall\), la proposizione precedente è vera comunque tu voglia fissare \(\delta\).
In particolare, essa è vera per tutti gli elementi \(\delta_n\) di una successione infinitesima di numeri positivi (cioè \(\delta_n >0\) e \(\lim_n \delta_n =0\))[nota]Sul tuo libro c'è la scelta particolare \(\delta_n= \frac{1}{n}\), ma questa è solo una delle infinite scelte possibili... Ad esempio, ti vanno bene anche le successioni \(\delta_n = 2^{-n}\), \(\delta_n =\sin \frac{1}{n}\), \(\delta_n = \log \frac{n+1}{n}\), ...
[/nota]: perciò, in corrispondenza di ognuno di tali \(\delta_n\), puoi scegliere un \(x_{\delta_n} = x_n \in I\) in modo che:\[
x_n \neq x_0,\ x_0-\delta_n
Hai così costruito una successione \((x_n)\) fatta da punti di \(I\), tutti diversi da \(x_0\) che gode della proprietà:
\[
\forall n\in \mathbb{N},\quad x_0-\delta-n
la quale, per il Teorema dei Carabinieri, implica \(\lim_n x_n = x_0\); inoltre si ha:
\[
|f(x_n) - l|\geq \varepsilon_0
\]
cosicché la successione di termine generale \(f(x_n)\) non può convergere ad \(l\). In tal modo, la tua successione \((x_n)\) vìola la 2, ma ciò è assurdo perché stai supponendo che 2 valga per ogni successioni di elementi di \(I\) che approssima \(x_0\).
Dunque \(\lim_{x\to x_0} f(x) =l\), come volevi.
Grazie mille, sei stato chiarissimo in ogni dettaglio!
Prego.
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