Dubbi di teoria sulla differenziabilità
Salve a tutti, sto studiando la differenziabilità a due variabili e mi sento un po' confuso. Il nostro professore ci ha lasciato i suoi appunti, ma io mi sono anche preso un libro (il Salsa-Squelati) che anche se è un po' ostico per uno studente di ingegneria del primo anno è comunque un buon libro. Ora vi riassumo quello che ho capito.
Per dimostrare la differenziabilità in un punto $P0$ per la definizione
$lim (△f(P0)-df(P0))/(h^2+k^2)^(1/2)=0$ con $(h,k)->(0,0)$
ciò porta a limiti spesso laboriosi, e quindi qui mi dovete dire se ci sono metodi più semplici.
Ovviamente prima di fare questo limite (sennò non avrebbe senso) guardo la continuità totale in $P0$, e la derivabilità parziale (e anche quella direzionale, che nn mi vado a fare) che sono implicate dalla differenziabilità. Il teorema dice che è condizione sufficiente che preso un intorno $A$ di $R^n$, con $P0 ∈ A$, se esistono le derivate parziali in un intorno del punto e sono continue in tale punto $->$ ALLORA $f$ è differenziabile in tale punto. Poi vabbè, se esistono in tutto $A$ e sono continue in tutto $A$ allora $f$ è differenziabile in tutto $A$.
Se comunque le derivate parziali non sono continue, allora non mi basta e devo per forza svolgere quel limite, coordinate polari ecc.
Quindi se una funzione è $C1(A)$ è differenziabile? Inoltre negli appunti del mio prof c' è scritto che suddetto teorema vale anche se si suppone anche solo la continuità di almeno una delle due derivate parziali e non di entrambe. Com' è possibile se deve essere $C1(A)$? andrebbero dimostrate entrambe le continuità (non lo dimostra nemmeno,non vorrei che abbia sbagliato)
Questo $A$ aperto può benissimo essere sia $R^n$ stesso che uno qualunque insieme aperto contente $P0$?
Questo è tutto quello che sono riuscito a decifare dagli appunti del mio prof e dal quel libro infernale.Confermate tutto?
Per dimostrare la differenziabilità in un punto $P0$ per la definizione
$lim (△f(P0)-df(P0))/(h^2+k^2)^(1/2)=0$ con $(h,k)->(0,0)$
ciò porta a limiti spesso laboriosi, e quindi qui mi dovete dire se ci sono metodi più semplici.
Ovviamente prima di fare questo limite (sennò non avrebbe senso) guardo la continuità totale in $P0$, e la derivabilità parziale (e anche quella direzionale, che nn mi vado a fare) che sono implicate dalla differenziabilità. Il teorema dice che è condizione sufficiente che preso un intorno $A$ di $R^n$, con $P0 ∈ A$, se esistono le derivate parziali in un intorno del punto e sono continue in tale punto $->$ ALLORA $f$ è differenziabile in tale punto. Poi vabbè, se esistono in tutto $A$ e sono continue in tutto $A$ allora $f$ è differenziabile in tutto $A$.
Se comunque le derivate parziali non sono continue, allora non mi basta e devo per forza svolgere quel limite, coordinate polari ecc.
Quindi se una funzione è $C1(A)$ è differenziabile? Inoltre negli appunti del mio prof c' è scritto che suddetto teorema vale anche se si suppone anche solo la continuità di almeno una delle due derivate parziali e non di entrambe. Com' è possibile se deve essere $C1(A)$? andrebbero dimostrate entrambe le continuità (non lo dimostra nemmeno,non vorrei che abbia sbagliato)
Questo $A$ aperto può benissimo essere sia $R^n$ stesso che uno qualunque insieme aperto contente $P0$?
Questo è tutto quello che sono riuscito a decifare dagli appunti del mio prof e dal quel libro infernale.Confermate tutto?
Risposte
Grazie per l' aiuto! bene o male erano le stesse cose che avevo scritto però fatte più chiaramente.
Riguardo a quella cosa che diceva il mio proff... è vero che affinchè sia $C1$ in $x0$ basta verificare che anche solo una delle due derivate parziali sia continua in $x0$?
Riguardo a quella cosa che diceva il mio proff... è vero che affinchè sia $C1$ in $x0$ basta verificare che anche solo una delle due derivate parziali sia continua in $x0$?
Molto esaustivo.Un' ultima cosa...
La regola del gradiente ci da l' uguaglianza tra le derivate direzionali e il prodotto scalare di $v$ con il gradiente ed è un procedimento molto veloce. Tuattvia è verificata per ogni direzione solo se è differenziabile la nostra $f(x,y)$.
Ma se in un esercizio mi chiedessero di calcolarmi le direzionali, io , per usare tale regola, dovrei prima sempre dimostrare la differenziabilità? (in tal caso meglio usare il procedimento normale)
La regola del gradiente ci da l' uguaglianza tra le derivate direzionali e il prodotto scalare di $v$ con il gradiente ed è un procedimento molto veloce. Tuattvia è verificata per ogni direzione solo se è differenziabile la nostra $f(x,y)$.
Ma se in un esercizio mi chiedessero di calcolarmi le direzionali, io , per usare tale regola, dovrei prima sempre dimostrare la differenziabilità? (in tal caso meglio usare il procedimento normale)
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