Dubbi di AM1c
Chi mi sa spiegare in parole semplici il teorema di Heine - Cantor? Magari con qualche esempio.
Qual'è la differenza tra punto di cuspide, punto angoloso e punto stazionario?
Non riesco a capire questa derivata: f(x) = |x| e^x => f(x)' = sign(x) e^x(1 + x).
Sia f(x) = arctg x + x^3
1)discutere l'uniforme continuità e la lipschitziana di f nell'intervallo [1,3].
2)nel caso in cui f è lipschitziana nell'intervallo dato, determinare la costante di lipschitzianità.
Non mi è molto chiara la funzione Lipschitziana.
Grazie
[/chesspos]
Qual'è la differenza tra punto di cuspide, punto angoloso e punto stazionario?
Non riesco a capire questa derivata: f(x) = |x| e^x => f(x)' = sign(x) e^x(1 + x).
Sia f(x) = arctg x + x^3
1)discutere l'uniforme continuità e la lipschitziana di f nell'intervallo [1,3].
2)nel caso in cui f è lipschitziana nell'intervallo dato, determinare la costante di lipschitzianità.
Non mi è molto chiara la funzione Lipschitziana.
Grazie
[/chesspos]
Risposte
ciao Princess e benvenut* nel forum.
Teorema di Heine-Cantor
Una funzione continua in un insieme compatto è uniformemente continua nell'insieme stesso.
In altre parole:
Se f(x) è una funzione continua nell’intervallo chiuso e limitato [a,b] allora f(x) è uniformemente continua.
Qui trovi approfondimenti e dimostrazione:
http://lnx.matematicamente.it/teoria/an ... inuita.pdf
Teorema di Heine-Cantor
Una funzione continua in un insieme compatto è uniformemente continua nell'insieme stesso.
In altre parole:
Se f(x) è una funzione continua nell’intervallo chiuso e limitato [a,b] allora f(x) è uniformemente continua.
Qui trovi approfondimenti e dimostrazione:
http://lnx.matematicamente.it/teoria/an ... inuita.pdf
[mod="Gugo82"]Benvenuto/a (ma più probabilmente con la "a" 
).
Se ancora non l'hai fatto, ti esorto vivamente a leggere il regolamento e questo breve decalogo.
Buona permanenza sul foro.[/mod]
Ne trovi a bizzeffe in un qualunque testo di Analisi I; ad esempio Giusti, Analisi I (quello per i vecchi ordinamenti, lascia stare le nuove edizioni).
Idem come sopra.
P.S.: Qual è, senza apostrofo.
Hai provato a separare i casi $x>0$ ed $x<0$ ed a derivare?
Una funzione si dice lipschitziana con costante di Lipschitz $L>=0$ se e solo se risulta $|f(x)-f(y)|<=L|x-y|$ per ogni coppia di punti $x,y$ nell'insieme di definizione della $f$.
Un altro modo di vedere la cosa è dire che $f$ è lipschitziana con costante di Lipschitz $L$ se e solo se i rapporti incrementali $(f(x)-f(y))/(x-y)$ sono tutti compresi tra $pm L$ al variare di $x,y$ nell'insieme di definizione di $f$.
Una condizione sufficiente alla lipschitzianità (che segue immediatamente dall'ultima definizione data e dal teorema di Lagrange) è che $f$ sia derivabile, che la derivata $f'$ sia limitata nel suo insieme di definizione; in tale caso la costante di Lipschitz è il $"sup "|f'|$.
).Se ancora non l'hai fatto, ti esorto vivamente a leggere il regolamento e questo breve decalogo.
Buona permanenza sul foro.[/mod]
"Princess":
Chi mi sa spiegare in parole semplici il teorema di Heine - Cantor? Magari con qualche esempio.
Ne trovi a bizzeffe in un qualunque testo di Analisi I; ad esempio Giusti, Analisi I (quello per i vecchi ordinamenti, lascia stare le nuove edizioni).
"Princess":
Qual'è la differenza tra punto di cuspide, punto angoloso e punto stazionario?
Idem come sopra.
P.S.: Qual è, senza apostrofo.
"Princess":
Non riesco a capire questa derivata: f(x) = |x| e^x => f(x)' = sign(x) e^x(1 + x).
Hai provato a separare i casi $x>0$ ed $x<0$ ed a derivare?
"Princess":
Sia f(x) = arctg x + x^3
1)discutere l'uniforme continuità e la lipschitziana di f nell'intervallo [1,3].
2)nel caso in cui f è lipschitziana nell'intervallo dato, determinare la costante di lipschitzianità.
Non mi è molto chiara la funzione Lipschitziana.
Una funzione si dice lipschitziana con costante di Lipschitz $L>=0$ se e solo se risulta $|f(x)-f(y)|<=L|x-y|$ per ogni coppia di punti $x,y$ nell'insieme di definizione della $f$.
Un altro modo di vedere la cosa è dire che $f$ è lipschitziana con costante di Lipschitz $L$ se e solo se i rapporti incrementali $(f(x)-f(y))/(x-y)$ sono tutti compresi tra $pm L$ al variare di $x,y$ nell'insieme di definizione di $f$.
Una condizione sufficiente alla lipschitzianità (che segue immediatamente dall'ultima definizione data e dal teorema di Lagrange) è che $f$ sia derivabile, che la derivata $f'$ sia limitata nel suo insieme di definizione; in tale caso la costante di Lipschitz è il $"sup "|f'|$.
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