Dubbi con una serie numerica

[dotmanu]

Considerando la serie:

$\sum_{k=2}^oo ln(ln(n))/ln(n)$

osservo che la serie è a termini positivi (da n=3 in avanti).

Inoltre:

$lim_(n->oo)(ln(ln(n))/ln(n))=0$ E' soddisfatta la condizione necessaria di convergenza.

La serie potrebbe dunque essere sia convergente che divergente.

A questo punto il libro scrive:

$ln(ln(n)>=1$ OK
$ln(N)<=n$ per $n>=10$ PERCHE'?

Dopodichè:

$ln(ln(n))/ln(n)>=1/n$ da cui si conclude che la serie diverge per il primo criterio del confronto.

Tuttavia ho pensato anche:

$ln(ln(n))/ln(n)<=ln(n)/ln(n)=1$ perchè avevamo supposto $ln(n) Questo però mi porta a dire che la serie converge...

RIASSUMENDO: Potete aiutarmi a capire perchè $ln(n)<=n$ per $n>=10$ ed inoltre dove sbaglio nel mio ultimo ragionamento?

GRAZIE

[gugo82]

Beh che si abbia definitivamente (ossia per [tex]n\geq \nu[/tex]) [tex]n\geq \ln n[/tex] non è un mistero: infatti risulta [tex]$\lim_{n} \frac{\ln n}{n}=0$[/tex], da cui si trae facilmente la tesi applicando la definizione di limite con [tex]\varepsilon=1[/tex].

Quantificare il valore di [tex]\nu[/tex] è un po' più complesso... Però non è che ti interessi molto, giacché per applicare il criterio del confronto non è necessario conoscere esplicitamente il valore di [tex]\nu[/tex].

Tuttavia sono convinto che [tex]\nu =10[/tex] sia una stima troppo pessimistica; secondo me già se prendi [tex]\nu =1[/tex] la maggiorazione [tex]\forall n\geq 1\quad n\geq \ln n[/tex] funziona benissimo (perchè?).

[dotmanu]

Grazie.. ora ho capito...
Sai dirmi per caso anche dove sbagliavo nell'ultimo ragionamento?

Grazie

[gugo82]

"dotmanu":Tuttavia ho pensato anche:

$ln(ln(n))/ln(n)<=ln(n)/ln(n)=1$ perchè avevamo supposto $ln(n) Questo però mi porta a dire che la serie converge...

Non vedo perchè, dato che la serie maggiorante [tex]$\sum_{n=2}^{+\infty} 1$[/tex] non converge.

[dotmanu]

Forse ho capito dove sbagliavo. Io pensavo che se $0<=ln(ln(n))/ln(n)<=1$ allora la serie non va a $oo$.. in realtà mi dimenticavo che ho una sommatoria da valutare...