Dubbi con successioni definite per ricorrenza
Ho alcuni dubbi sul procedimento che uso per risolvere questa successione.
Considero la successione definita per ricorrenza:
${ ( a(1)=1 ),( a(n+1)=(a(n))/(a(n)^2+1) ):}$
scrivo la
$f(t)=(t)/(t^2+1)$ ne faccio il $lim_(t->+oo)(t)/(t^2+1)=lim_(t->-oo)(t)/(t^2+1)=0$
Ho già finito? La successione converge a 0? Solitamente il limte di una successione mi viene sempre +oo o -oo, in questi casi continuo lo studio della $fi(t)=f(t)-t$
Considero la successione definita per ricorrenza:
${ ( a(1)=1 ),( a(n+1)=(a(n))/(a(n)^2+1) ):}$
scrivo la
$f(t)=(t)/(t^2+1)$ ne faccio il $lim_(t->+oo)(t)/(t^2+1)=lim_(t->-oo)(t)/(t^2+1)=0$
Ho già finito? La successione converge a 0? Solitamente il limte di una successione mi viene sempre +oo o -oo, in questi casi continuo lo studio della $fi(t)=f(t)-t$
Risposte
Ho già finito? No (anche perché tale limite non significa nulla)
Se $a(n)$ convergesse ad un generico $l$ allora avresti $l=\frac{l}{l^2+1}$, poi risolvi su $l$.
Ora l'unica soluzione viene $l=0$, quindi se $a(n)$ convergesse allora convergerà a $0$.
Ora dovresti provare a sfruttare il fatto che $a(n)>0$ per ogni $n$ e magari dimostrare che $a(n)$ sia decrescente.
Che le successioni convergano "mediamente" a $+\infty$ o $-\infty$ non penso stia scritto su nessun manuale.
Se $a(n)$ convergesse ad un generico $l$ allora avresti $l=\frac{l}{l^2+1}$, poi risolvi su $l$.
Ora l'unica soluzione viene $l=0$, quindi se $a(n)$ convergesse allora convergerà a $0$.
Ora dovresti provare a sfruttare il fatto che $a(n)>0$ per ogni $n$ e magari dimostrare che $a(n)$ sia decrescente.
Che le successioni convergano "mediamente" a $+\infty$ o $-\infty$ non penso stia scritto su nessun manuale.
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