Dubbi con i limiti
$lim_(xto+infty)(1-1/(2x))^x$
ma questo limiti è risolvibile in questo modo
$lim_(xto+infty)(1-1/(2x))^((2x)*(1/2))=sqrt(1/e)$
invece ho molti più problemi con quest altro
$lim_(xto+infty)(e^(x^2)-cosx-x^2)/tanx^4$
per questo limite non posso applicare ne limiti notevoli ne sviluppi di taylor perchè la x non converge a zero.
sostituzioni non me ne vengono in mente...non so che fare
grazie
ma questo limiti è risolvibile in questo modo
$lim_(xto+infty)(1-1/(2x))^((2x)*(1/2))=sqrt(1/e)$
invece ho molti più problemi con quest altro
$lim_(xto+infty)(e^(x^2)-cosx-x^2)/tanx^4$
per questo limite non posso applicare ne limiti notevoli ne sviluppi di taylor perchè la x non converge a zero.
sostituzioni non me ne vengono in mente...non so che fare
grazie
Risposte
Come sempre, nei limiti all'infinito si raccoglie il termine dominante.
Al numeratore domina ...
Al denominatore ...
Fatto ciò, cosa concludi?
Al numeratore domina ...
Al denominatore ...
Fatto ciò, cosa concludi?
fa $lim_(xtoinfty)(e^(x^2)/tanx^4)=+infty$??
Cerco di interpretare il tuo secondo messaggio.
Immagino tu abbia raccolto $e^{x^2}$ al numeratore (e questo è corretto perché domina rispetto a $- \cos x$ e $-x^2$), perciò hai scritto (un po' male, fattelo dire
dopo ti spiego perché) che il limite di partenza è "uguale" al limite che hai scritto.
Ciò non è corretto, perché non si va al limite a pezzi; si fa tendere la variabile al limite contemporaneamente in tutto il limite.
Perciò, riscrivi meglio il limite con tutti i raccoglimenti.
Scritto ciò, comunque il limite non è corretto. Perché secondo te?
Effettivamente il numeratore tende a $+ \infty$, ma...
Immagino tu abbia raccolto $e^{x^2}$ al numeratore (e questo è corretto perché domina rispetto a $- \cos x$ e $-x^2$), perciò hai scritto (un po' male, fattelo dire
dopo ti spiego perché) che il limite di partenza è "uguale" al limite che hai scritto.Ciò non è corretto, perché non si va al limite a pezzi; si fa tendere la variabile al limite contemporaneamente in tutto il limite.
Perciò, riscrivi meglio il limite con tutti i raccoglimenti.
Scritto ciò, comunque il limite non è corretto. Perché secondo te?
Effettivamente il numeratore tende a $+ \infty$, ma...
vabbe si ho scritto direttamente l'ultimo passaggio
il mio dubbio era che quanto valesse il limite della tangente perchè da quel che so non esiste
il mio dubbio era che quanto valesse il limite della tangente perchè da quel che so non esiste
Giusto, il limite di $\tan x$ non esiste quando $x \to +\infty$; perché non esiste?
Quello è $\tan (x^4)$, cambia qualcosa?
Se non cambia nulla, cosa succede al limite?
Eh ma rimane sbagliato. Non te lo dico per romperti, ma perché poi all'esame potresti (giustamente) trovare chi neanche si mette ad immaginare quali potessero essere i tuoi ragionamenti (anche se corretti) se poi gli scrivi cose sbagliate.
I professori, allo scritto, hanno come unica informazione quello che gli scrivi; quindi è sempre meglio scrivere le cose per bene fin da subito per abituarsi.
Poi non è solo un discorso di esame: uno deve capirle bene soprattutto per sé stesso le cose
Quello è $\tan (x^4)$, cambia qualcosa?
Se non cambia nulla, cosa succede al limite?
"lepre561":
vabbe si ho scritto direttamente l'ultimo passaggio
Eh ma rimane sbagliato. Non te lo dico per romperti, ma perché poi all'esame potresti (giustamente) trovare chi neanche si mette ad immaginare quali potessero essere i tuoi ragionamenti (anche se corretti) se poi gli scrivi cose sbagliate.
I professori, allo scritto, hanno come unica informazione quello che gli scrivi; quindi è sempre meglio scrivere le cose per bene fin da subito per abituarsi.
Poi non è solo un discorso di esame: uno deve capirle bene soprattutto per sé stesso le cose
per il fatto dei raccoglimenti ho capito e ti ringrazio dei consigli...però non riesco proprio capire la soluzione...quel tanx mi crea molti problemi... se venisse anche esso $+infty$ credo che comunque il numeratore rimanga di grado superiore e quindi infinito...però non ne sono sicuro
Lo capisco, però non hai risposto alle mie domande del messaggio precedente.
Ci arriviamo alla soluzione, però devi ragionare sulle domande che ti ho posto (oppure, se già lo sai, rispondere alle domande).
Vedrai che dopo le risposte non avrai più problemi con limiti del genere!
Ci arriviamo alla soluzione, però devi ragionare sulle domande che ti ho posto (oppure, se già lo sai, rispondere alle domande).
Vedrai che dopo le risposte non avrai più problemi con limiti del genere!
il problema che la mia risposta alla domanda sul limite della tangente è che il limite per tanx non esiste per nel mio caso siccome è $x^4$ fa $+infty$ purtroppo sto solo ipotizzando non ne sono convinto
Da come scrivi sembra che il problema sia la presenza di quell'$x^4$ nella tangente.
Quindi forse mi sono espresso male, riscrivo meglio: perché il limite di $\tan x$ non esiste per $x \to +\infty$?
Te lo chiedo perché è uguale, anche nel caso di $\tan x$ si ha che $x \to +\infty$, proprio come per $\tan (x^4)$.
Ho un po' paura che tu non sappia bene perché quel limite non esiste, se dovesse essere questo il problema va risolto subito (e lo faremo), ma vanno individuati bene i dubbi.
Quindi, sai o non sai perché
$$\lim_{x \to +\infty} \tan x = \nexists$$
Quindi forse mi sono espresso male, riscrivo meglio: perché il limite di $\tan x$ non esiste per $x \to +\infty$?
Te lo chiedo perché è uguale, anche nel caso di $\tan x$ si ha che $x \to +\infty$, proprio come per $\tan (x^4)$.
Ho un po' paura che tu non sappia bene perché quel limite non esiste, se dovesse essere questo il problema va risolto subito (e lo faremo), ma vanno individuati bene i dubbi.
Quindi, sai o non sai perché
$$\lim_{x \to +\infty} \tan x = \nexists$$
diciamo che lo sapevo come legge... però credo perchè all'infinto non assume un determinato valore
Okay! Allora, "intuitivamente" quel limite non esiste perché la tangente è il rapporto tra seno e coseno, funzioni che, essendo periodiche, quando $x \to +\infty$ cambiano infinite volte segno.
Ma da un noto teorema il limite, se esiste, è unico: perciò l'oscillazione di questi valori non permette al limite di esistere perché non si stabilizza mai su un valore unico.
Quindi, anche se c'è $x^4$ nell'argomento della tangente, si verifica lo stesso fenomeno che ho appena detto; cambierà il periodo/la frequenza con cui ciò avviene, ma si verificherà ugualmente.
Chiaramente la dimostrazione rigorosa è tutto un altro paio di maniche.
Però ora sai, almeno intuitivamente, cosa sta succedendo.
Sapendo questo, il limite che hai dato si riduce a considerare cosa succede quando hai un esponenziale che va a $+\infty$ al numeratore e un denominatore che cambia continuamente segno.
Perciò?
Ma da un noto teorema il limite, se esiste, è unico: perciò l'oscillazione di questi valori non permette al limite di esistere perché non si stabilizza mai su un valore unico.
Quindi, anche se c'è $x^4$ nell'argomento della tangente, si verifica lo stesso fenomeno che ho appena detto; cambierà il periodo/la frequenza con cui ciò avviene, ma si verificherà ugualmente.
Chiaramente la dimostrazione rigorosa è tutto un altro paio di maniche.
Però ora sai, almeno intuitivamente, cosa sta succedendo.
Sapendo questo, il limite che hai dato si riduce a considerare cosa succede quando hai un esponenziale che va a $+\infty$ al numeratore e un denominatore che cambia continuamente segno.
Perciò?
io direi $+infty$
"Mephlip":
Ma da un noto teorema il limite, se esiste, è unico
"Mephlip":
hai un esponenziale che va a $+\infty$ al numeratore e un denominatore che cambia continuamente segno.
Perciò?
Prova a ragionare su queste due cose che ho detto prima.
quindi il limite non esite? dato che assume più valori?
Esatto, hai che il numeratore lo fa tendere a $+\infty$ a causa di $e^{x^2}$, ma il denominatore cambia segno infinite volte e dunque questo limite oscilla tra $-\infty$ e $+\infty$ senza mai stabilizzarsi su un valore unico!
allora per chiudere il quadro se invece della tangente al denominatore ci fossero stati coseno e seno che oer$xtoinfty$ oscillano tra -1 e 1. In questo caso il limite sarebbe stato lo stesso o sarebbe venuto $+infty$ dato che -1 e 1 si possono definire costanti?
P.s anche se è passato in sordina avevo proposto un altro limite...va bene quella risoluzione?
P.s anche se è passato in sordina avevo proposto un altro limite...va bene quella risoluzione?
Sì, il primo limite è corretto. Da come hai scritto sembrava che il tuo dubbio fosse solo sul secondo!
Rispondo alla prima domanda: l'hai detto appena tu che oscillano tra due valori, come fanno ad essere costanti?
Forse non è ancora chiaro il tutto: $x \to +\infty$ significa "$x$ diventa arbitrariamente grande"; quindi, dato che dopo un periodo di $2\pi$ il seno e coseno hanno gli stessi valori che avevano al periodo prima, quando "$x$ diventa arbitrariamente grande" questo ciclo di valori si ripete. Infinite volte.
Quindi succede sempre la stessa cosa. Cerca di fissare bene cosa sta succedendo, altrimenti avrai questo tipo di dubbi ogni volta che affronti situazioni simili!
Rispondo alla prima domanda: l'hai detto appena tu che oscillano tra due valori, come fanno ad essere costanti?
Forse non è ancora chiaro il tutto: $x \to +\infty$ significa "$x$ diventa arbitrariamente grande"; quindi, dato che dopo un periodo di $2\pi$ il seno e coseno hanno gli stessi valori che avevano al periodo prima, quando "$x$ diventa arbitrariamente grande" questo ciclo di valori si ripete. Infinite volte.
Quindi succede sempre la stessa cosa. Cerca di fissare bene cosa sta succedendo, altrimenti avrai questo tipo di dubbi ogni volta che affronti situazioni simili!
grazie mille molto prezioso
perdonami se approfitto di te ma avrei bisogno di una mano nel risolvere questo limite
$lim_(xto+infty)(x^2/(x+1))*e^(x/(x+1))/x$
io procederei cosi
$lim_(xto+infty)(x/(x+1))*e^(x/(x+1))$
facendo i raccoglimenti
$lim_(xto+infty)x/(x(1+(1/x)))*e^(x/(x(1+(1/x)))$
che dovrebbe venire $e$ ma controllando viene $e^2$ come mai dove sbaglio?
perdonami se approfitto di te ma avrei bisogno di una mano nel risolvere questo limite
$lim_(xto+infty)(x^2/(x+1))*e^(x/(x+1))/x$
io procederei cosi
$lim_(xto+infty)(x/(x+1))*e^(x/(x+1))$
facendo i raccoglimenti
$lim_(xto+infty)x/(x(1+(1/x)))*e^(x/(x(1+(1/x)))$
che dovrebbe venire $e$ ma controllando viene $e^2$ come mai dove sbaglio?
Il procedimento è corretto, sbagli i conti proprio manualmente da qualche parte perché già qui
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x \left(1+\frac{1}{x}\right)} \cdot e^{\frac{x}{x \left(1+\frac{1}{x}\right)}}=\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{1+\frac{1}{x}} \cdot e^{\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}$$
Puoi passare al limite, notando che tutto tende pacificamente ad $1 \cdot e^1=e$ senza forme indeterminate, dove ti viene fuori il quadrato all'esponente? Sarà stato sicuramente un errore di distrazione
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x \left(1+\frac{1}{x}\right)} \cdot e^{\frac{x}{x \left(1+\frac{1}{x}\right)}}=\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{1+\frac{1}{x}} \cdot e^{\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}$$
Puoi passare al limite, notando che tutto tende pacificamente ad $1 \cdot e^1=e$ senza forme indeterminate, dove ti viene fuori il quadrato all'esponente? Sarà stato sicuramente un errore di distrazione
a me viene $e$ ma il risultato su wolphram viene $e^2$...
$lim_(xto-1+)(x^2/(x+1))*e^(x/(x+1))$
e una forma indeterminata $-infty*0$ che non so risolvere perchè pur portando $x^2$ al denominatore
$lim_(xto-1+)e^(x/(x+1))/((x+1)/x^2$
mi viene un altra forma indeterminata $0/0$ io poi avevo pensato che venisse 0 perchè al numeratore c'è un infinitesimo prevalente ma dovrebbe venire infinito
$lim_(xto-1+)(x^2/(x+1))*e^(x/(x+1))$
e una forma indeterminata $-infty*0$ che non so risolvere perchè pur portando $x^2$ al denominatore
$lim_(xto-1+)e^(x/(x+1))/((x+1)/x^2$
mi viene un altra forma indeterminata $0/0$ io poi avevo pensato che venisse 0 perchè al numeratore c'è un infinitesimo prevalente ma dovrebbe venire infinito
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