Dubbi con i limiti

[lepre561]

$lim_(xto+infty)(1-1/(2x))^x$

ma questo limiti è risolvibile in questo modo

$lim_(xto+infty)(1-1/(2x))^((2x)*(1/2))=sqrt(1/e)$

invece ho molti più problemi con quest altro

$lim_(xto+infty)(e^(x^2)-cosx-x^2)/tanx^4$

per questo limite non posso applicare ne limiti notevoli ne sviluppi di taylor perchè la x non converge a zero.

sostituzioni non me ne vengono in mente...non so che fare


grazie

[Mephlip]

Ma tende a $-1^+$ o a $+\infty$ il limite? Nell'altro messaggio c'era $x \to +\infty$, poi non compariva $x^2$ perché c'era un $x$ al denominatore...sono confuso. Sono due limiti diversi?

[pilloeffe]

"lepre561":a me viene $e $ ma il risultato su wolphram viene $e^2 $...

Non è vero, viene $e $ anche su Wolphram, controlla bene...

Quanto al primo limite proposto, hai commesso errori anche lì:

$\lim_{x \to +\infty} (1 - 1/(2x))^x = \lim_{x \to +\infty} [(1 - 1/(2x))^{-2x}]^{-1/2} = e^{-1/2} = \sqrt{1/e} $

Per l'ultimo limite proposto il risultato è $0 $ se $x to -1^+ $, invece è $-\infty $ se $x \to -1^- $. Per risolverlo potresti provare ponendo $t := x + 1 $
Se posso darti un consiglio spassionato, non serve che tu faccia 1000 limiti fatti male, magari fanne solo 100 ma falli bene riflettendo su ciò che fai...

[lepre561]

"Mephlip":Ma tende a $-1^+$ o a $+\infty$ il limite? Nell'altro messaggio c'era $x \to +\infty$, poi non compariva $x^2$ perché c'era un $x$ al denominatore...sono confuso. Sono due limiti diversi?

sisi sono diversi

[lepre561]

"pilloeffe":[quote="lepre561"]a me viene $e $ ma il risultato su wolphram viene $e^2 $...

Non è vero, viene $e $ anche su Wolphram, controlla bene...

Quanto al primo limite proposto, hai commesso errori anche lì:

$\lim_{x \to +\infty} (1 - 1/(2x))^x = \lim_{x \to +\infty} [(1 - 1/(2x))^{-2x}]^{-1/2} = e^{-1/2} = \sqrt{1/e} $

Per l'ultimo limite proposto il risultato è $0 $ se $x to -1^+ $, invece è $-\infty $ se $x \to -1^- $. Per risolverlo potresti provare ponendo $t := x + 1 $
Se posso darti un consiglio spassionato, non serve che tu faccia 1000 limiti fatti male, magari fanne solo 100 ma falli bene riflettendo su ciò che fai... [/quote]


provando con il tuo consiglio mi viene

$lim_(xto0+)((t-1)^2/t)*e^((t-1)/t)$

ma la forma è sempre indeterminata...

[pilloeffe]

"lepre561":ma la forma è sempre indeterminata...

Grazie, mica elimini la forma indeterminata con una posizione: prova ad andare avanti...

[lepre561]

$lim_(xto0+)((t-1)^2/t)*e^((t-1)/t)$

$lim_(xto0+)e^((t-1)/t)/(t/(t-1)^2)$

ora siccome il numeratore è di infinitesimo maggiore viene $0$?

[pilloeffe]

Prova a sviluppare il quadrato, a dividerlo poi per $t $ e a scrivere l'esponente $\frac{t - 1}{t} = 1 - 1/t $

[lepre561]

In che senso dividerlo per t?
Il quadrato sviluppato viene $t^2-2t+1$

[pilloeffe]

$\lim_{x \to 0^+}[(t-1)^2/t] e^{(t-1)/t} = \lim_{x \to 0^+}((t^2 - 2t + 1)/t) e^{1-1/t} = e \cdot \lim_{x \to 0^+}(t - 2 + 1/t) e^{-1/t} $

Ora riesci a proseguire?

[lepre561]

Quindi viene $e*lim_(xto0+)(t*e^(-1/t)-2*e^(-1/t)+e^(-1/t)/t)$

E quindi 0 perché all'interno della parentesi c'è la somma di 3 zeri...

Giusto?

[pilloeffe]

Sì, in realtà $\lim_{t \to 0^+} e^{-1/t}/t $ è ancora una forma indeterminata, ma dalla teoria dovresti sapere che si ha:

$ \lim_{t \to 0^+} e^{-1/t}/t = 0 $

Ti propongo un esercizio: prova a dimostrare che invece per $x \to -1^- $ il limite risulta $ -\infty $

[lepre561]

Allora per quando riguarda il primo limite è perché $e^(-1/t)$ è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a t

Il secondo limite da te proposto l'ho già risolto perché questo limite proveniva da uno studio di funzione

[lepre561]

Giusto?

[pilloeffe]