Dubbi base sui limiti.
In base a quale criterio, per un limite di una funzione per x che tende a $x_0$, se sostituiamo nell'espressione della funzione il valore $x_0$ e non viene una forma indeterminata, possiamo concludere che il limite è proprio $f(x_0)$? Non riesco a giustificarmi questo passaggio tuttavia elementare, quello che si fa da sempre anche a scuola.
Risposte
In base alla definizione, quella di Cauchy con gli $\epsilon$ e i $\delta$. Prova a dimostrarlo per un caso semplice e vedrai che ti torna...
In effetti, ti spiego. Dunque mi sono state definite le funzioni continue. Da questa semplice definizione non riuscivo a concludere la cosa, perchè avrei dovuto conoscere a priori la continuità della funzione per concludere che il limite fosse proprio $f(x_0)$.
Poi mi è stato detto che vale l'equivalenza tra l'affermazione secondo cui $f$ è continua in $x_0$ e quella di Cauchy.
Quindi deduco che IN TUTTI I CASI, sostituendo $x_0$ nell'espressione di $f(x)$ sia possibile verificare la definizione di CAuchy, e quindi concludere che la funzione è continua, giusto?
Poi mi è stato detto che vale l'equivalenza tra l'affermazione secondo cui $f$ è continua in $x_0$ e quella di Cauchy.
Quindi deduco che IN TUTTI I CASI, sostituendo $x_0$ nell'espressione di $f(x)$ sia possibile verificare la definizione di CAuchy, e quindi concludere che la funzione è continua, giusto?
Sinceramente non ho capito bene quale sia il tuo cruccio. In particolare non mi è chiaro cosa intendi quando dici
Però mi pare che tu stia considerando l'affermazione "il limite di $f$ per $x$ che va a $x_0$ vale $l$" e la pappardella di Cauchy come due cose distinte. In realtà non lo sono. Nel senso che la scrittura
$lim_(x->x_0) f(x) = l$
è un modo simbolico e compatto per dire che
$AA \epsilon>0, EE \delta=\delta(\epsilon) ........$.
Da questa semplice definizione non riuscivo a concludere la cosa, perchè avrei dovuto conoscere a priori la continuità della funzione per concludere che il limite fosse proprio $f(x_0)$.
Però mi pare che tu stia considerando l'affermazione "il limite di $f$ per $x$ che va a $x_0$ vale $l$" e la pappardella di Cauchy come due cose distinte. In realtà non lo sono. Nel senso che la scrittura
$lim_(x->x_0) f(x) = l$
è un modo simbolico e compatto per dire che
$AA \epsilon>0, EE \delta=\delta(\epsilon) ........$.
Però mi pare che tu stia considerando l'affermazione "il limite di $f$ per $x$ che va a $x_0$ vale $l$" e la pappardella di Cauchy come due cose distinte. In realtà non lo sono. Nel senso che la scrittura
$lim_(x->x_0) f(x) = l$
Io aggiungo una cosa in più, comunque, e cioè che $l$ è uguale proprio al valore della funzione nel punto. E' vero che se si applica la definizione di Cauchy e si sostituisce a $l$ $f(x_0)$ , vale quanto dici. Tuttavia io non capisco come, sostituendo e vedendo che non c'è una forma indeterminata, è automaticamente verificata la definizione di Cauchy, per cui vale l'equivalenza che permette di concludere che la funzione è continua in $x_0$ e come tale ha come limite proprio $f(x_0)$.
Magari già mi hai risposto, e non ho saputo cogliere.
"turtle87":
Quindi deduco che IN TUTTI I CASI, sostituendo $x_0$ nell'espressione di $f(x)$ sia possibile verificare la definizione di CAuchy, e quindi concludere che la funzione è continua, giusto?
si
"turtle87":
In base a quale criterio, per un limite di una funzione per x che tende a $x_0$, se sostituiamo nell'espressione della funzione il valore $x_0$ e non viene una forma indeterminata, possiamo concludere che il limite è proprio $f(x_0)$? Non riesco a giustificarmi questo passaggio tuttavia elementare, quello che si fa da sempre anche a scuola.
Ehi, attenzione!
Non è mica vero. Vale solo per le funzioni continue.
Quoto aleph_91.
A scuola ([OT]io le scuole superiori le abolirei[/OT]) si insegna questo metodo meccanico perché le funzioni sono sempre ottenute facendo somme e prodotti delle funzioni
$x, e^x, log x, sinx, cosx, tanx, arcsinx, arccosx, arctanx$ e forse qualche altra che adesso mi sfugge.
Queste sono tutte funzioni continue nel loro insieme di definizione. Di conseguenza facendone somme e prodotti otterrai ancora funzioni continue, dove definite. Esempio:
$f(x)=logx*tanx$. Questa funzione è definita in $(0, infty)-{pi/2+kpi\ :\ k\inZZ}$. In questo insieme è anche continua perché è il prodotto di due funzioni ivi continue.
Quindi, se ad esempio vogliamo calcolare $lim_{x\to1}f(x)$, visto che è noto a priori che $f$ è continua in 1, possiamo rispondere subito:
$lim_{x\to1}f(x)=f(1)$.
Diverso è il caso di funzioni definite in un punto ma discontinue nello stesso. Esempio classico: $f(x)="sign"(x)$ ("segno" di $x$: vale 1 se $x$ è positivo, -1 se $x$ è negativo, 0 se $x$ è zero). Questa funzione è definita in 0 ma è ivi discontinua. E difatti non è assolutamente vero che $lim_{x\to0}"sign"(x)="sign"(0)$.
A scuola ([OT]io le scuole superiori le abolirei[/OT]) si insegna questo metodo meccanico perché le funzioni sono sempre ottenute facendo somme e prodotti delle funzioni
$x, e^x, log x, sinx, cosx, tanx, arcsinx, arccosx, arctanx$ e forse qualche altra che adesso mi sfugge.
Queste sono tutte funzioni continue nel loro insieme di definizione. Di conseguenza facendone somme e prodotti otterrai ancora funzioni continue, dove definite. Esempio:
$f(x)=logx*tanx$. Questa funzione è definita in $(0, infty)-{pi/2+kpi\ :\ k\inZZ}$. In questo insieme è anche continua perché è il prodotto di due funzioni ivi continue.
Quindi, se ad esempio vogliamo calcolare $lim_{x\to1}f(x)$, visto che è noto a priori che $f$ è continua in 1, possiamo rispondere subito:
$lim_{x\to1}f(x)=f(1)$.
Diverso è il caso di funzioni definite in un punto ma discontinue nello stesso. Esempio classico: $f(x)="sign"(x)$ ("segno" di $x$: vale 1 se $x$ è positivo, -1 se $x$ è negativo, 0 se $x$ è zero). Questa funzione è definita in 0 ma è ivi discontinua. E difatti non è assolutamente vero che $lim_{x\to0}"sign"(x)="sign"(0)$.
Avevo inteso in tutti i casi in cui sia possibile verificare la relazione di cauchy..... pensavo turtle volesse intendere questo!
Ovviamente la semplice sostituzione non ci dice nulla sulla continuitá.
Il problema é, come dice dissonance, che nelle scuole superiori si insegnano questi concetti fondamentali dell'analisi molto male, o meglio, fanno quello che possono, anche se alla fine invece di fargli capire, gli confondono le idee.
PS
Aveva fatto questa premessa infatti:
"Poi mi è stato detto che vale l'equivalenza tra l'affermazione secondo cui è continua in e quella di Cauchy. "
Ovviamente la semplice sostituzione non ci dice nulla sulla continuitá.
Il problema é, come dice dissonance, che nelle scuole superiori si insegnano questi concetti fondamentali dell'analisi molto male, o meglio, fanno quello che possono, anche se alla fine invece di fargli capire, gli confondono le idee.
PS
Aveva fatto questa premessa infatti:
"Poi mi è stato detto che vale l'equivalenza tra l'affermazione secondo cui è continua in e quella di Cauchy. "
Avevo inteso in tutti i casi in cui sia possibile verificare la relazione di cauchy..... pensavo turtle volesse intendere questo!
Infatti, io, seppur a torto, non ho il vostro rigore.
"turtle87":
In base a quale criterio, per un limite di una funzione per x che tende a $x_0$, se sostituiamo nell'espressione della funzione il valore $x_0$ e non viene una forma indeterminata, possiamo concludere che il limite è proprio $f(x_0)$? Non riesco a giustificarmi questo passaggio tuttavia elementare, quello che si fa da sempre anche a scuola.
Se $f(x_0)$ non è una forma indeterminata allora si può concludere che $f(x)$ è definita in $x_0$, ma non che sia continua in $x_0$.
Per essere continua, deve risultare che $f(x_0+\epsilon)=f(x_0)+\omega(\epsilon,x_0)$, dove $\omega(\epsilon,x_0)$ è una funzione che tende a $0$ per $\epsilon$ che tende a $0$.
Scusate se riprendo questa discussione dopo un sacco di tempo. Ho pensato ad altro, in questo periodo.
In definitiva:
io ho una funzione $f(x)$, bella complicata nella forma, ma anche semplice, non è questo il punto, in cui $x$ tende a un certo punto di accumulazione del dominio, chiamiamolo $x_0$.
Sostituisco meccanicamente (senza sapere perchè, così mi hanno insegnato a fare, e colpevolmente solo ora me ne chiedo il motivo) il valore $x_0$ nell' espressione $f(x)$, e si presentano due alternative che si possono verificare:
1) Esce fuori una forma indeterminata che non so cosa debba significare;
2) Esce fuori un numero, ed io lo assumo come il limite di quella funzione. Esso però evidentemente è anche il valore della funzione nel punto $x_0$. Quindi posso concludere che la funzione è continua in quel punto.
Qui mi pare vi sia il punto dolente, il gatto che si morde la coda, o forse il punto che voi avete già spiegato ma che io non ho capito.
Dunque, se io so a priori che la funzione è continua, posso applicare il procedimento di sostituzione cruda e concludere che il valore che ne esce fuori sia il limite di questa funzione. Ma se io all’inizio, non so niente, come faccio, con la semplice sostituzione, a concludere quello da cui dovrei partire per poter applicare la sostituzione? Cioè, io devo partire da A (continuità) della funzione, per capire B(il limite della funzione coincide con il valore della funzione, quindi applico la sostituzione correttamente), ma evidentemente, non posso partire da B (sostituzione) per concludere A (che la funzione sia continua), e giustificare dopo questo passaggio che in origine (cioè senza sapere che la funzione fosse continua) non aveva alcuna giustificazione.
La domanda di fondo di questo thread è quella di spiegare perchè è possibile fare questo.
Provo ora a interpretare tutto ciò che mi è stato detto in risposta. La prima risposta, quella di alle fabbri, dice di applicare la definizione di Cauchy. Ci provo.
Dunque, considero un limite.
$\lim{x \rightarrow x_0}(f(x))$.
Sostituendo, se non viene una forma indeterminata, viene un certo valore, che è il valore della funzione nel punto. Se applico la definizione di limite, per un arbitrario $\epsilon$, c’è un $\delta_\epsilon$ tale che, quando $|x – x_0| < delta_\epsilon$, sia $|f(x) – f(x_0)| <\epsilon$. Cosa concludo da questo, riguardo al limite della funzione?
Dissonance parla del teorema secondo cui componendo funzioni continue in tutto il loro dominio, si ottiene una nuova funzione continua in tutto il suo dominio.
Poi però nega, a buon diritto, la procedura meccanica con l’esempio sulla funzione $sign(x)$, continua in $0$, ma non regolare in esso.
Infine, Sidereus dice che:
Fate conto che io sia uno studente che non sa niente di come si risolvono i limiti: cosa mi direste a riguardo della sostituzione?
In definitiva:
io ho una funzione $f(x)$, bella complicata nella forma, ma anche semplice, non è questo il punto, in cui $x$ tende a un certo punto di accumulazione del dominio, chiamiamolo $x_0$.
Sostituisco meccanicamente (senza sapere perchè, così mi hanno insegnato a fare, e colpevolmente solo ora me ne chiedo il motivo) il valore $x_0$ nell' espressione $f(x)$, e si presentano due alternative che si possono verificare:
1) Esce fuori una forma indeterminata che non so cosa debba significare;
2) Esce fuori un numero, ed io lo assumo come il limite di quella funzione. Esso però evidentemente è anche il valore della funzione nel punto $x_0$. Quindi posso concludere che la funzione è continua in quel punto.
Qui mi pare vi sia il punto dolente, il gatto che si morde la coda, o forse il punto che voi avete già spiegato ma che io non ho capito.
Dunque, se io so a priori che la funzione è continua, posso applicare il procedimento di sostituzione cruda e concludere che il valore che ne esce fuori sia il limite di questa funzione. Ma se io all’inizio, non so niente, come faccio, con la semplice sostituzione, a concludere quello da cui dovrei partire per poter applicare la sostituzione? Cioè, io devo partire da A (continuità) della funzione, per capire B(il limite della funzione coincide con il valore della funzione, quindi applico la sostituzione correttamente), ma evidentemente, non posso partire da B (sostituzione) per concludere A (che la funzione sia continua), e giustificare dopo questo passaggio che in origine (cioè senza sapere che la funzione fosse continua) non aveva alcuna giustificazione.
La domanda di fondo di questo thread è quella di spiegare perchè è possibile fare questo.
Provo ora a interpretare tutto ciò che mi è stato detto in risposta. La prima risposta, quella di alle fabbri, dice di applicare la definizione di Cauchy. Ci provo.
Dunque, considero un limite.
$\lim{x \rightarrow x_0}(f(x))$.
Sostituendo, se non viene una forma indeterminata, viene un certo valore, che è il valore della funzione nel punto. Se applico la definizione di limite, per un arbitrario $\epsilon$, c’è un $\delta_\epsilon$ tale che, quando $|x – x_0| < delta_\epsilon$, sia $|f(x) – f(x_0)| <\epsilon$. Cosa concludo da questo, riguardo al limite della funzione?
Dissonance parla del teorema secondo cui componendo funzioni continue in tutto il loro dominio, si ottiene una nuova funzione continua in tutto il suo dominio.
Poi però nega, a buon diritto, la procedura meccanica con l’esempio sulla funzione $sign(x)$, continua in $0$, ma non regolare in esso.
Infine, Sidereus dice che:
Se f(x0) non è una forma indeterminata allora si può concludere che f(x) è definita in x0, ma non che sia continua in x0.
Fate conto che io sia uno studente che non sa niente di come si risolvono i limiti: cosa mi direste a riguardo della sostituzione?
Salve Sergio, grazie per aver dedicato attenzione a questa discussione, e scusami se non ti ho risposto prima. E' che ho fatto "toccata e fuga" su questo forum, negli ultimi tempi, perchè preso dallo studio. Non è correttissimo, e negli ultimi giorni me ne sono reso conto, e cercherò di rimediare, nel più breve tempo possibile, senza oltremodo rimandare a un futuro troppo lontano. Stasera ho trovato un po' di tempo per dedicarmi a quella che sta diventando ormai la mia discussione preferita, anche se mette in risalto quanto in realtà sia, nel profondo, ignorante.
Quando tu risolvi un limite, cosa provi a fare come prima cosa?
Con quello che sto per scrivere mi ricollego alla risposta di alle.fabbri, la prima. E' abbastanza intuitivo che l'espressione di una funzione elementare, con la sostituzione incriminata, dia automaticamente il limite, poichè se abbiamo una funzione indicata secondo un' espressione elementare (per le funzioni definite a tratti il discorso è esattamente lo stesso, salvo che in alcuni casi bisogna analizzare il limite destro e quello sinistro di due espressioni diverse per poter calcolare il valore del limite per un qualsiasi punto di accumulazione del dominio), finora non ho incontrato nemmeno un caso in cui la sostituzione non sia stata lecita.
In sostanza, per tali funzioni elementari, anche solo per alcuni tratti del dominio, anche solo considerando solo restrizioni destre o sinistre (in tal caso ovviamente si considerano solo i limiti destro e sinistro), si nota una certa caratteristica comune della funzione, che intuitivamente si vede bene con i grafici: il diagramma, in un opportuno intorno del punto di accumulazione, non si spezza mai, è "continuo" (nel senso che salvo errori miei dovrebbe proprio valere la definizione di funzione continua) intorno a tale punto di accumulazione, per tutti i punti dell'intorno, anche se non necessariamente nel punto di accumulazione stesso.
Tuttavia, io ho sviluppato la tendenza a ragionare quasi nella maniera più antiintuitiva possibile: anche se io vedo, nel grafico che utilizzo, i $\delta$ e gli $\epsilon$ di cui parla alle.fabbri, tuttavia non mi fido della mia "visione", e chiedo se vi sia una dimostrazione più corretta della "pratica che ancora ora mi appare ingiustificata". Forse sono un po' fanatico del "rigore" visto che ne ho scoperto da poco le potenzialità, sia per la matematica, sia per la vita stessa della mia mente, e quindi magari non mi rendo ancora conto che il processo di sostituzione non è affatto ingiustificato.
Sergio fa tre esempi che secondo me mi possono aiutare a discutere il mio dubbio.
Nel primo caso, il limite è zero.
Io lo risolvo sapendo che x è una funzione elementare e continua, anche nella restrizione indicata.
Il limite sarebbe stato tuttavia $0$ anche se la funzione, ad esempio, fosse stata definita nell'intervallo limitato ma non chiuso $(0, 1]$. E questo come lo faccio a calcolare? Io la prima cosa che tendo a fare è sostituire lo zero nell'espressione e vedere se il risultato viene $0$. Per una funzione così semplice ci sono mille giustificazioni teoriche che posso addurre a giustificare che il limite sia $0$. Ad esempio, considerare il limite di una funzione monotona; conoscere a priori il grafico della funzione e capire che, fissato un intorno di J di $0$ esisterà sempre un intorno di $0$ per tutti i punti del quale $f(x) in J$. Lo si capisce conoscendo a priori qual è la funzione.
Il problema si ha quando 1) non conosco il grafico di una funzione; 2) non so se la funzione è monotona o meno (e anche per questa cosa dovrei conoscere qual è il codominio della funzione, qual è il dominio, e comunque l'applicazione del teorema sarebbe limitata ai casi in cui il punto di accumulazione è un estremo del dominio). Vi renderete conto che il procedimento mi appare alquanto ingiustificato, o almeno da approfondire.
Nel secondo caso il limite è 0. Anche qui si ragiona sulla definizione di Cauchy, ma sempre tenendo presente il grafico della funzione, cosa che, ripeto, non è sempre possibile fare. Analogo discorso per il terzo caso.
Probabilmente in tante mie risposte, ho parlato di alcuni concetti che non sono essenziali nella definizione di limite, come quello di continuità, che al contrario si basa sul concetto di limite, almeno per quanto ne so io.
Ho provato a riflettere sui vari contributi che mi sono stati offerti in questa sede. Provo ora ad esporre i frutti delle mie riflessioni.
La sostituzione si spiega con il fatto che in un normale corso di analisi vengono considerate perlopiù funzioni elementari, o somme e prodotti di esse. Talvolta le espressioni che vengono sottoposte alla nostra attenzione sono espressioni in cui si utilizzano le espressioni elementari in funzioni composte mediante di esse, e allora si utilizza il teorema delle funzioni composte che comunque "separa" la risoluzione di un limite in una risoluzione di due limiti (con tutte le condizioni che non sto qui ad elencare, indicate dal teorema), entrambi di funzioni elementari. Per quanto riguarda le funzioni elementari, esse possono essere continue in un punto di accumulazione, non continue in un punto di accumulazione, e in tal caso avere punto di accumulazione infinito.
Grazie al solo esclusivo impiego del teorema sui limiti delle funzioni monotone (tutte le funzioni elementari, eccetto soltanto alcune funzioni periodiche se non ne dimentico altre, sono monotone in tutto il dominio o in alcune parti di esso in modo che sia sempre possibile individuarne il limite), grazie alle varie considerazioni sui limiti delle restrizioni, e grazie ai teoremi sui limiti di somme, prodotti, o rapporti, la sostituzione apparentemente compiuta in espressioni di funzioni di cui non sappiamo niente diventa lecita perchè noi ogni volta è come se scomponessimo un limite in tutte le somme possibili di limiti di funzioni formalmente più "elementari", come se trasformassimo limiti di funzioni composte in limiti di funzioni semplici, e una volta ottenuti tutti i limiti delle funzioni elementari che compongono l'unico limite grande, si va a ragionare secondo i teoremi elencati da me prima.
Se anche prendiamo una funzione a tratti, ad esempio una funzione che in un intervallo $(0, 1)$ ha la forma $logsenx$ mentre nell'intervallo $(1, 3)$ ha la forma $x +1$, ma avente nel punto $1$ il valore $1482$ (per sdrammatizzare un po'), io applico la sostituzione (in questo caso studio separatamente limite destro e sinistro, per ovvi motivi) alle due espressioni alla destra e alla sinistra di 1, poichè so le funzioni elementari come si comportano intorno a un punto, e quindi applico la definizione di Cauchy, ossia vedo il grafico (in questo caso, per la funzione $log senx$, io vedo il grafico solo della funzione $senx$, poi ne vedo un secondo per la funzione logaritmo che la contiene) e visualizzo gli intorni, etc. etc. etc.
Forse la mia domanda era "stupida" in tal senso: nel senso che io non ho considerato che tutte le funzioni che incontro praticamente sono funzioni elementari e che il procedimento di sostituzione è in realtà giustificato da tanti teoremi tutti noti, o dalla semplice definizione di limite, che però posso considerare utile conoscendo come si comporta la funzione intorno a un punto (e questo lo so perchè appunto vengono insegnate le funzioni elementari).
La continuità, per tale sostituzione, non è essenziale. Io ho posto la domanda credendo, chissà per quale motivo (superficialità) potessero esistere funzioni indicabili con "espressioni" note, che non fossero o elementari o derivate di elementari, o indicabili tramite esse, anche solo per piccoli tratti di dominio (come avviene per le funzioni definite a tratti).
Magari il problema esisterà, in rami della matematica più complesse in cui si studiano funzioni di cui ora immagino l'esistenza così come immaginerei quella degli alieni
. Funzioni esprimibili con cifre non latine, con numeri non arabi .
Resto a disposizione per eventuali richieste di chiarimento o correzioni.
Mi sembrerebbe quindi utile:
a) chiarire meglio (almeno per me) che vuol dire "sostituire meccanicamente" e da dove salta fuori la forma indeterminata;
Quando tu risolvi un limite, cosa provi a fare come prima cosa?
b) partire (saggia regola generale) da una definizione di limite.
Con quello che sto per scrivere mi ricollego alla risposta di alle.fabbri, la prima. E' abbastanza intuitivo che l'espressione di una funzione elementare, con la sostituzione incriminata, dia automaticamente il limite, poichè se abbiamo una funzione indicata secondo un' espressione elementare (per le funzioni definite a tratti il discorso è esattamente lo stesso, salvo che in alcuni casi bisogna analizzare il limite destro e quello sinistro di due espressioni diverse per poter calcolare il valore del limite per un qualsiasi punto di accumulazione del dominio), finora non ho incontrato nemmeno un caso in cui la sostituzione non sia stata lecita.
In sostanza, per tali funzioni elementari, anche solo per alcuni tratti del dominio, anche solo considerando solo restrizioni destre o sinistre (in tal caso ovviamente si considerano solo i limiti destro e sinistro), si nota una certa caratteristica comune della funzione, che intuitivamente si vede bene con i grafici: il diagramma, in un opportuno intorno del punto di accumulazione, non si spezza mai, è "continuo" (nel senso che salvo errori miei dovrebbe proprio valere la definizione di funzione continua) intorno a tale punto di accumulazione, per tutti i punti dell'intorno, anche se non necessariamente nel punto di accumulazione stesso.
Tuttavia, io ho sviluppato la tendenza a ragionare quasi nella maniera più antiintuitiva possibile: anche se io vedo, nel grafico che utilizzo, i $\delta$ e gli $\epsilon$ di cui parla alle.fabbri, tuttavia non mi fido della mia "visione", e chiedo se vi sia una dimostrazione più corretta della "pratica che ancora ora mi appare ingiustificata". Forse sono un po' fanatico del "rigore" visto che ne ho scoperto da poco le potenzialità, sia per la matematica, sia per la vita stessa della mia mente, e quindi magari non mi rendo ancora conto che il processo di sostituzione non è affatto ingiustificato.
Sergio fa tre esempi che secondo me mi possono aiutare a discutere il mio dubbio.
Nel primo caso, il limite è zero.
Io lo risolvo sapendo che x è una funzione elementare e continua, anche nella restrizione indicata.
Il limite sarebbe stato tuttavia $0$ anche se la funzione, ad esempio, fosse stata definita nell'intervallo limitato ma non chiuso $(0, 1]$. E questo come lo faccio a calcolare? Io la prima cosa che tendo a fare è sostituire lo zero nell'espressione e vedere se il risultato viene $0$. Per una funzione così semplice ci sono mille giustificazioni teoriche che posso addurre a giustificare che il limite sia $0$. Ad esempio, considerare il limite di una funzione monotona; conoscere a priori il grafico della funzione e capire che, fissato un intorno di J di $0$ esisterà sempre un intorno di $0$ per tutti i punti del quale $f(x) in J$. Lo si capisce conoscendo a priori qual è la funzione.
Il problema si ha quando 1) non conosco il grafico di una funzione; 2) non so se la funzione è monotona o meno (e anche per questa cosa dovrei conoscere qual è il codominio della funzione, qual è il dominio, e comunque l'applicazione del teorema sarebbe limitata ai casi in cui il punto di accumulazione è un estremo del dominio). Vi renderete conto che il procedimento mi appare alquanto ingiustificato, o almeno da approfondire.
Nel secondo caso il limite è 0. Anche qui si ragiona sulla definizione di Cauchy, ma sempre tenendo presente il grafico della funzione, cosa che, ripeto, non è sempre possibile fare. Analogo discorso per il terzo caso.
Probabilmente in tante mie risposte, ho parlato di alcuni concetti che non sono essenziali nella definizione di limite, come quello di continuità, che al contrario si basa sul concetto di limite, almeno per quanto ne so io.
Ho provato a riflettere sui vari contributi che mi sono stati offerti in questa sede. Provo ora ad esporre i frutti delle mie riflessioni.
La sostituzione si spiega con il fatto che in un normale corso di analisi vengono considerate perlopiù funzioni elementari, o somme e prodotti di esse. Talvolta le espressioni che vengono sottoposte alla nostra attenzione sono espressioni in cui si utilizzano le espressioni elementari in funzioni composte mediante di esse, e allora si utilizza il teorema delle funzioni composte che comunque "separa" la risoluzione di un limite in una risoluzione di due limiti (con tutte le condizioni che non sto qui ad elencare, indicate dal teorema), entrambi di funzioni elementari. Per quanto riguarda le funzioni elementari, esse possono essere continue in un punto di accumulazione, non continue in un punto di accumulazione, e in tal caso avere punto di accumulazione infinito.
Grazie al solo esclusivo impiego del teorema sui limiti delle funzioni monotone (tutte le funzioni elementari, eccetto soltanto alcune funzioni periodiche se non ne dimentico altre, sono monotone in tutto il dominio o in alcune parti di esso in modo che sia sempre possibile individuarne il limite), grazie alle varie considerazioni sui limiti delle restrizioni, e grazie ai teoremi sui limiti di somme, prodotti, o rapporti, la sostituzione apparentemente compiuta in espressioni di funzioni di cui non sappiamo niente diventa lecita perchè noi ogni volta è come se scomponessimo un limite in tutte le somme possibili di limiti di funzioni formalmente più "elementari", come se trasformassimo limiti di funzioni composte in limiti di funzioni semplici, e una volta ottenuti tutti i limiti delle funzioni elementari che compongono l'unico limite grande, si va a ragionare secondo i teoremi elencati da me prima.
Se anche prendiamo una funzione a tratti, ad esempio una funzione che in un intervallo $(0, 1)$ ha la forma $logsenx$ mentre nell'intervallo $(1, 3)$ ha la forma $x +1$, ma avente nel punto $1$ il valore $1482$ (per sdrammatizzare un po'), io applico la sostituzione (in questo caso studio separatamente limite destro e sinistro, per ovvi motivi) alle due espressioni alla destra e alla sinistra di 1, poichè so le funzioni elementari come si comportano intorno a un punto, e quindi applico la definizione di Cauchy, ossia vedo il grafico (in questo caso, per la funzione $log senx$, io vedo il grafico solo della funzione $senx$, poi ne vedo un secondo per la funzione logaritmo che la contiene) e visualizzo gli intorni, etc. etc. etc.
Forse la mia domanda era "stupida" in tal senso: nel senso che io non ho considerato che tutte le funzioni che incontro praticamente sono funzioni elementari e che il procedimento di sostituzione è in realtà giustificato da tanti teoremi tutti noti, o dalla semplice definizione di limite, che però posso considerare utile conoscendo come si comporta la funzione intorno a un punto (e questo lo so perchè appunto vengono insegnate le funzioni elementari).
La continuità, per tale sostituzione, non è essenziale. Io ho posto la domanda credendo, chissà per quale motivo (superficialità) potessero esistere funzioni indicabili con "espressioni" note, che non fossero o elementari o derivate di elementari, o indicabili tramite esse, anche solo per piccoli tratti di dominio (come avviene per le funzioni definite a tratti).
Magari il problema esisterà, in rami della matematica più complesse in cui si studiano funzioni di cui ora immagino l'esistenza così come immaginerei quella degli alieni
. Funzioni esprimibili con cifre non latine, con numeri non arabi . Resto a disposizione per eventuali richieste di chiarimento o correzioni.
scusate ma mi intrometto anche io nella discussione. Premetto che sono uno studente. Permettimi una domanda: che università frequenti?
Dunque secondo me la questione è più semplice di come la si sta ponendo.
Io partirei dalla definizione di funzioni continue. Una funzione si dice continua in un punto se il valore della funzione in tale punto è pari al valore del limite nello stesso punto (ovviamente funzione e limite devono esistere). E questa è una DEFINIZIONE e c'è poco da discutere. Cerco di esprimermi meglio: io ho una mia funzione, in qualche modo mi accorgo che $f(x_0)=lim_(x>x_0)f(x)$; adesso SEMPLICEMENTE per evitare ogni volta di dover scrivere questa cosa definisco le funzioni continue e quando ti sto dicendo che una funzione è continua ti sto semplicemente dicendo che $f(x_0)=lim_(x>x_0)f(x)$.
Adesso dobbiamo precisare che in ambiente didattico la maggior parte delle funzioni con cui abbiamo a che fare sono composizioni di funzioni trigonometriche, esponenziali, polinomi.
Ora SAPPIAMO A PRIORI che esponenziali, trigonometriche e polinomi sono funzioni continue nel loro dominio cioè per ogni $x_0$ che appartiene al dominio vale la relazione $f(x_0)=lim_(x>x_0)f(x)$.
Se questa cosa non ti convince, da buon ingegnere, ti rispondo che è una cosa che se vuoi puoi dimostrare; cioè (qualcuno del forum sicuramente ti saprà indirizzare) se vuoi tu puoi dimostare ad esempio che per ogni $x_0$ reale vale la relazione $e^(x_0)=lim_(x>x_0)e^x$
(e naturalmente ora non puoi banalmente sostituire perchè non sai ancora che la funzione è continua!)
E a questo punto capisci che la sostituzione che tanto meccanicamente ci hanno insegnato è una cosa assolutamente lecita.
A questo punto se tieni presente che le funzioni con cui abbiamo a che fare a scuola sono nella maggior parte dei casi composizioni di funzioni trigonometrice, esponenziali o polinomi e che si dimostra che una funzione composta di funzioni continue è anch'essa una funzione continua non dovresti avere problemi ad accettare che se sostituendo ottieni un numero questo è proprio il valore di limite che stavi cercando.
Resta da chiarire il caso di "forme indeterminate" e il caso di forme del tipo $0/x$.
Ad essere rigorosi dovremmo fare un po' di topologia e chiarire cosa intendiamo per funzioni continue all'infinito e poi dovresti conoscere anche la definizione per limiti all'infinito.
Comunque senza scendere troppo nei dettagli ti faccio un esempio che ti può aiutare. Considera $f(x)=g(x)/h(x)$ e prova a calcolare il limite per x che tende a zero. Riesci ad accettare ceh la funzione $f(x)$ non è proprio continua in zero e quindi la sostituzione di cui tanto abbiamo parlato non ha nessun senso?
A questo punto a scuola avrebbero dovuto dirci che SI DIMOSTRA ad esempio che data appunto $f(x)=g(x)/h(x)$, se $g(x)$ tende a un valore finito e $h(x)$ tende a $+oo$ ALLORA $f(x)$ tende a 0 oppure che se sia $g(x)$ che $h(x)$ tendono ad esempio a $+oo$ non si riesce a dimostrare niente, cioè non si riesce a legare il valore del limite di f a quelli di h e g: ecco da dove spuntano fuori le fomre indeterminat! Ed ecco anche il perché manipolando la funzione f le cose possono "aggiustarsi" perché andiamo a cambiare le due funzione f e g: cioè da $f(x)=g(x)/h(x)$ passiamo a $f(x)=g*(x)/h*(x)$ e se siamo fortunati g* e h* tenderanno ad esempio la prima a 0 e la seconda a un valore finito e quindi possiamo affermare che il limtie di f è proprio 0.
Per approfondire queste cose prova a guardare anche su un comune libro di analisi al capitolo ""operazioni"" con i limiti
Non pretendo di averti spiegato le cose ma almeno speriamo non ti abbia semplicemtne confuso di più.
Dunque secondo me la questione è più semplice di come la si sta ponendo.
Io partirei dalla definizione di funzioni continue. Una funzione si dice continua in un punto se il valore della funzione in tale punto è pari al valore del limite nello stesso punto (ovviamente funzione e limite devono esistere). E questa è una DEFINIZIONE e c'è poco da discutere. Cerco di esprimermi meglio: io ho una mia funzione, in qualche modo mi accorgo che $f(x_0)=lim_(x>x_0)f(x)$; adesso SEMPLICEMENTE per evitare ogni volta di dover scrivere questa cosa definisco le funzioni continue e quando ti sto dicendo che una funzione è continua ti sto semplicemente dicendo che $f(x_0)=lim_(x>x_0)f(x)$.
Adesso dobbiamo precisare che in ambiente didattico la maggior parte delle funzioni con cui abbiamo a che fare sono composizioni di funzioni trigonometriche, esponenziali, polinomi.
Ora SAPPIAMO A PRIORI che esponenziali, trigonometriche e polinomi sono funzioni continue nel loro dominio cioè per ogni $x_0$ che appartiene al dominio vale la relazione $f(x_0)=lim_(x>x_0)f(x)$.
Se questa cosa non ti convince, da buon ingegnere, ti rispondo che è una cosa che se vuoi puoi dimostrare; cioè (qualcuno del forum sicuramente ti saprà indirizzare) se vuoi tu puoi dimostare ad esempio che per ogni $x_0$ reale vale la relazione $e^(x_0)=lim_(x>x_0)e^x$
(e naturalmente ora non puoi banalmente sostituire perchè non sai ancora che la funzione è continua!)
E a questo punto capisci che la sostituzione che tanto meccanicamente ci hanno insegnato è una cosa assolutamente lecita.
A questo punto se tieni presente che le funzioni con cui abbiamo a che fare a scuola sono nella maggior parte dei casi composizioni di funzioni trigonometrice, esponenziali o polinomi e che si dimostra che una funzione composta di funzioni continue è anch'essa una funzione continua non dovresti avere problemi ad accettare che se sostituendo ottieni un numero questo è proprio il valore di limite che stavi cercando.
Resta da chiarire il caso di "forme indeterminate" e il caso di forme del tipo $0/x$.
Ad essere rigorosi dovremmo fare un po' di topologia e chiarire cosa intendiamo per funzioni continue all'infinito e poi dovresti conoscere anche la definizione per limiti all'infinito.
Comunque senza scendere troppo nei dettagli ti faccio un esempio che ti può aiutare. Considera $f(x)=g(x)/h(x)$ e prova a calcolare il limite per x che tende a zero. Riesci ad accettare ceh la funzione $f(x)$ non è proprio continua in zero e quindi la sostituzione di cui tanto abbiamo parlato non ha nessun senso?
A questo punto a scuola avrebbero dovuto dirci che SI DIMOSTRA ad esempio che data appunto $f(x)=g(x)/h(x)$, se $g(x)$ tende a un valore finito e $h(x)$ tende a $+oo$ ALLORA $f(x)$ tende a 0 oppure che se sia $g(x)$ che $h(x)$ tendono ad esempio a $+oo$ non si riesce a dimostrare niente, cioè non si riesce a legare il valore del limite di f a quelli di h e g: ecco da dove spuntano fuori le fomre indeterminat! Ed ecco anche il perché manipolando la funzione f le cose possono "aggiustarsi" perché andiamo a cambiare le due funzione f e g: cioè da $f(x)=g(x)/h(x)$ passiamo a $f(x)=g*(x)/h*(x)$ e se siamo fortunati g* e h* tenderanno ad esempio la prima a 0 e la seconda a un valore finito e quindi possiamo affermare che il limtie di f è proprio 0.
Per approfondire queste cose prova a guardare anche su un comune libro di analisi al capitolo ""operazioni"" con i limiti
Non pretendo di averti spiegato le cose ma almeno speriamo non ti abbia semplicemtne confuso di più.
"turtle87":
Dissonance parla del teorema secondo cui componendo funzioni continue in tutto il loro dominio, si ottiene una nuova funzione continua in tutto il suo dominio.
Poi però nega, a buon diritto, la procedura meccanica con l’esempio sulla funzione $sign(x)$, continua in $0$, ma non regolare in esso.
Un'ultima cosa chi ti ha detto che $f(x)=sign(x)$ è continua in 0?
scusate ma mi intrometto anche io nella discussione. Premetto che sono uno studente. Permettimi una domanda: che università frequenti?
Ingegneria, ma non è importante quello che studio.
Cerco di esprimermi meglio: io ho una mia funzione, in qualche modo mi accorgo che ; adesso SEMPLICEMENTE per evitare ogni volta di dover scrivere questa cosa definisco le funzioni continue e quando ti sto dicendo che una funzione è continua ti sto semplicemente dicendo che .
Ok, qualcuno ha visto che alcune funzioni elementari sono continue in tutti i punti del dominio di accumulazione per esso (o anche nei punti isolati, sempre dalla definizione), ha visto che somme e prodotti di funzioni continue sono continue.
Se questa cosa non ti convince, da buon ingegnere, ti rispondo che è una cosa che se vuoi puoi dimostrare; cioè (qualcuno del forum sicuramente ti saprà indirizzare) se vuoi tu puoi dimostare ad esempio che per ogni reale vale la relazione
(e naturalmente ora non puoi banalmente sostituire perchè non sai ancora che la funzione è continua!)
E a questo punto capisci che la sostituzione che tanto meccanicamente ci hanno insegnato è una cosa assolutamente lecita.
Credi che possa dimostrarlo con gli strumenti che dovrei avere a disposizione (alla fine di un normale corso di analisi 1) e che quindi dovrei ragionare un po' di più, oppure mi devo rivolgere a persone che conoscono ambiti della matematica che io non posso conoscere? Ripeto, è una cosa intuitiva, ma non riesco a generalizzare.
A questo punto se tieni presente che le funzioni con cui abbiamo a che fare a scuola sono nella maggior parte dei casi composizioni di funzioni trigonometrice, esponenziali o polinomi e che si dimostra che una funzione composta di funzioni continue è anch'essa una funzione continua non dovresti avere problemi ad accettare che se sostituendo ottieni un numero questo è proprio il valore di limite che stavi cercando
Questo è vero, anche se a volte mi trovo a che fare con funzioni definite a tratti e che utilizzano espressioni elementari, che sarebbero continue in un punto se si considerassero le pure funzioni elementari, ma che inserite nella composizione di funzioni a tratti non lo sono. Esempio, la funzione che si comporta come la funzione seno salvo che nel punto $x = 0$ in cui assume valore $3$, non è continua nel punto. Allora non posso più ragionare come con una funzione continua.
A questo punto a scuola avrebbero dovuto dirci che SI DIMOSTRA ad esempio che data appunto , se tende a un valore finito e tende a ALLORA tende a 0 oppure che se sia che tendono ad esempio a non si riesce a dimostrare niente, cioè non si riesce a legare il valore del limite di f a quelli di h e g: ecco da dove spuntano fuori le fomre indeterminat! Ed ecco anche il perché manipolando la funzione f le cose possono "aggiustarsi" perché andiamo a cambiare le due funzione f e g: cioè da passiamo a e se siamo fortunati g* e h* tenderanno ad esempio la prima a 0 e la seconda a un valore finito e quindi possiamo affermare che il limtie di f è proprio 0.
Per approfondire queste cose prova a guardare anche su un comune libro di analisi al capitolo ""operazioni"" con i limiti
Qui ci siamo, nel senso che conosco quella serie di teoremi. Il punto fondamentale era quello che hai colto sopra, io poi nella confusione ho aumentato il disordine di questa discussione.
Non mi hai affatto confuso di più, anzi. L'unica cosa che resta è poter generalizzare un'intuizione che non riesco a dare per buona, senza qualche dritta ulteriore. Come infatti ho già detto più e più volte, che tutte le funzioni incontrate sinora si comportano così non mi aiuta a giustificarmi che una qualsiasi funzione composta da somme o prodotti di una funzione elementare goda di tale "sostituibilità".
Ma tu non devi giustificarti niente! Al massimo possiamo provare a dimostarlo. E se rimaniamo nel campo delle funzioni reali non credo ci sia bisogno di scomodare nessuno di particolarmente avanti nello studio della matematica.
Consideriamo $f:I->J$ continua in $x_0inI$ e $g:J->R$ continua in $y_0=f(x_0)inJ$ .
Praticamente noi per ipostesi sappiamo
$AA\epsilon>0EE\delta:|x-x_0|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$
$AA\sigma>0EE\zeta:|x-x_0|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\sigma$
A questo punto basta prendere $\epsilon=\zeta$
Ne consegue
$|x-x_0|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\epsilon\Rightarrow|g(f(x)-g(f(x_0))|<\sigma$
Osservando bene questa relazione, soprattutto le ultime, ci accorgiamo che non stamo dicendo altro che $lim_(x->x_0)g(f(x))=g(f(x_0))$
Ovvero che la funzione composta $g(f(x)$ (composta da f e g che sono funzioni continue) è essa stessa continua.
Ovvero abbiamo la tesi che stavamo cercando.
Comunque questo teorema o qualche sua variante dovrebbe essere presente su un qualsiasi buon libro di matematica.
QUINDI anziché credere a quello che ho scritto io (è tardi ed è passato ormai più di un anno dal mio esame di analisi 1) ti consiglio vivamente di cercare questo teorema su un libro e studiarlo da lì. comunque l'idea di fondo dovrebbe essere quella che ti ho scritto io.
Ciao e fammi sapere
Consideriamo $f:I->J$ continua in $x_0inI$ e $g:J->R$ continua in $y_0=f(x_0)inJ$ .
Praticamente noi per ipostesi sappiamo
$AA\epsilon>0EE\delta:|x-x_0|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$
$AA\sigma>0EE\zeta:|x-x_0|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\sigma$
A questo punto basta prendere $\epsilon=\zeta$
Ne consegue
$|x-x_0|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\epsilon\Rightarrow|g(f(x)-g(f(x_0))|<\sigma$
Osservando bene questa relazione, soprattutto le ultime, ci accorgiamo che non stamo dicendo altro che $lim_(x->x_0)g(f(x))=g(f(x_0))$
Ovvero che la funzione composta $g(f(x)$ (composta da f e g che sono funzioni continue) è essa stessa continua.
Ovvero abbiamo la tesi che stavamo cercando.
Comunque questo teorema o qualche sua variante dovrebbe essere presente su un qualsiasi buon libro di matematica.
QUINDI anziché credere a quello che ho scritto io (è tardi ed è passato ormai più di un anno dal mio esame di analisi 1) ti consiglio vivamente di cercare questo teorema su un libro e studiarlo da lì. comunque l'idea di fondo dovrebbe essere quella che ti ho scritto io.
Ciao e fammi sapere
Ma le funzioni non sono mica continue nel punto in questione?
La dimostrazione si riferisce alla composizione di funzioni continue, e il teorema allora è di facile dimostrazione (non è stato inutile il tuo lavoro, sempre che l'abbia capito: mi hai fatto notare un modo di dimostrare i teoremi sui limiti anche più snello di quello che utilizzo io).
Io nel mio dubbio mi riferivo anche alle funzioni non continue, alle funzioni in generale, prima di sapere su di esse qualsiasi cosa (salvo ovviamente, sapere se il punto di accumulazione per cui vogliamo trovare il limite sia di accumulazione, appunto, per il dominio della funzione), dato che la "meccanica sostituzione" sembra che si debba applicare sempre.
La dimostrazione si riferisce alla composizione di funzioni continue, e il teorema allora è di facile dimostrazione (non è stato inutile il tuo lavoro, sempre che l'abbia capito: mi hai fatto notare un modo di dimostrare i teoremi sui limiti anche più snello di quello che utilizzo io).
Io nel mio dubbio mi riferivo anche alle funzioni non continue, alle funzioni in generale, prima di sapere su di esse qualsiasi cosa (salvo ovviamente, sapere se il punto di accumulazione per cui vogliamo trovare il limite sia di accumulazione, appunto, per il dominio della funzione), dato che la "meccanica sostituzione" sembra che si debba applicare sempre.
"turtle87":
Ma le funzioni non sono mica continue nel punto in questione?
quali funzioni?
Io nel mio dubbio mi riferivo anche alle funzioni non continue, alle funzioni in generale, prima di sapere su di esse qualsiasi cosa (salvo ovviamente, sapere se il punto di accumulazione per cui vogliamo trovare il limite sia di accumulazione, appunto, per il dominio della funzione), dato che la "meccanica sostituzione" sembra che si debba applicare sempre.
quello che è stato è stato...adesso guarda avanti
quali funzioni?
La funzione, non definita in un punto $x_0$ (quindi non continua in quel punto), di cui si vuole calcolare il limite per $x$ che tende a $x_0$.
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