Dubbi analisi 3, max e min vincolati

[monica_n]

Ciao a tutti
eccomi di nuovo qui con un altro dubbio...... quest'analisi 3!!!! allora l'esercizio è sui punti critici (massimi e minimi vincolati) ed è il seguente:

Si calcolino i punti critici di $ f(x,y,z)=x^4+y^4+z^4 $ sull'insieme $ {(x,y,z)in R^3 t.c. x^2+y^2+z^2=1, x+y+z=1} $

So che dovrei calcolarmi i punti critici sulla frontiera e quindi calcolare le derivate parziali della lagrangiana e porle uguali a zero. Il problema (per me) è che il mio insieme è l'intersezione tra una sfera e un piano giusto? Si possono calcolare due lagrangiane diverse? una per la sfera e una per il piano? Altrimenti cosa dovrei fare?

Grazie mille!!

[monica_n]

"TeM":Dunque, data la funzione \(f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}\) definita da \[ f(x,\,y,\,z) := x^4 + y^4 + z^4 \] vogliamo calcolare gli estremi di \(f\) soggetti al vincolo \[ \Gamma := \left\{ (x,\,y,\,z) \in \mathbb{R}^3 : x^2 + y^2 + z^2 = 1, \; x + y + z = 1 \right\} \; . \]
La strada più semplice consiste nel definire una funzione lagrangiana del tipo \[ ℒ(x,\,y,\,z,\,\lambda_1,\,\lambda_2) := \left(x^4 + y^4 + z^4\right) - \lambda_1\left(x^2 + y^2 + z^2 - 1\right) - \lambda_2\left(x + y + z - 1\right) \] ove è sufficiente individuare i propri punti critici liberi annullandone il gradiente: i punti critici
per \(f\) su \(\Gamma\) si ottengono "trascurando" le ultime due coordinate dei due parametri lagrangiani.

In alternativa, notando che \[ \Gamma : \begin{cases} x^2 + y^2 + z^2 = 1 \\ x + y + z = 1 \end{cases} \; \; \Rightarrow \; \; \Gamma : \begin{cases} x^2 + y^2 + (1 - x - y)^2 = 1 \\ z = 1 - x - y \end{cases} \] possiamo parametrizzare tale curva nel modo seguente: \[ \Gamma : \begin{cases} x(\theta) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3}\,\cos\theta - \frac{1}{\sqrt{3}}\,\sin\theta \\ y(\theta) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3}\,\cos\theta + \frac{1}{\sqrt{3}}\,\sin\theta \\ z(\theta) = \frac{1}{3} - \frac{2}{3}\,\cos\theta \end{cases} \; \; \; \; \text{per} \; \theta \in [0,\,2\pi) \] e quindi si ha \[ g(\theta) := f(x(\theta),\,y(\theta),\,z(\theta)) = \frac{19 - 8\,\cos(3\theta)}{27} \,.\] Dato che per \(\theta \in [0,\,2\pi)\) si ha \[ g'(\theta) = 0 \; \; \Leftrightarrow \; \; \theta = 0 \, \vee \, \theta = \frac{\pi}{3} \, \vee \, \theta = \frac{2\pi}{3} \, \vee \, \theta = \pi \, \vee \, \theta = \frac{4\pi}{3} \, \vee \, \theta = \frac{5\pi}{3} \] e ancora \[ \small g''\left(0\right) = g''\left(\frac{2\pi}{3}\right) = g''\left(\frac{4\pi}{3}\right) = \frac{8}{3} > 0 \,, \; \; g''\left(\frac{\pi}{3}\right) = g''\left(\pi\right) = g''\left(\frac{5\pi}{3}\right) = - \frac{8}{3} < 0 \] possiamo concludere che i punti di minimo assoluto per \(f\) su \(\Gamma\) hanno coordinate \[ \left(\frac{2}{3}, \; \frac{2}{3}, \; -\frac{1}{3}\right)\,, \; \; \; \left(-\frac{1}{3}, \; \frac{2}{3}, \; \frac{2}{3}\right)\,, \; \; \; \left(\frac{2}{3}, \; -\frac{1}{3}, \; \frac{2}{3}\right) \] ove \(f\) vale \(\frac{11}{27}\), mentre i punti di massimo assoluto per \(f\) su \(\Gamma\) hanno coordinate \[ (0,\,1,\,0)\,, \; \; \; (0,\,0,\,1)\,, \; \; \; (1,\,0,\,0) \] ove \(f\) vale \(1\).

Spero sia sufficientemente chiaro.

Ciao.. Per prima cosa grazie, perché sei stato, per così dire, illuminante Il primo metodo è ok ma un casino con i calcoli per il secondo invece, potrei solo sapere come sei arrivato a quella parametrizzazione?