Duale di $L^1(\Omega)$

[Mrhaha]

Salve ragazzi!
Sto seguendo un corso di analisi e stiamo parlando un po' degli spazi di Lebesgue.
Il prof ci ha detto che il duale di $L^1(\Omega)$ è più "grande" di $L^{\inf}(\Omega)$, e sono curioso di sapere cosa potremmo dire in più.
A presto!

[Paolo902]

Il duale di $L^1(\Omega)$, fintanto che lo spazio di misura è sigma-finito, si può identificare con $L^{\infty}(\Omega)$.

Tuttavia, il duale di $L^{\infty}$ non è $L^1$, ma è un qualcosa che lo contiene strettamente (in effetti, si può anche dimostrare che $L^1$ non è il duale di "niente"). Per maggiori informazioni, puoi dare un'occhiata a Brezis, § 4.3.

[ludwigZero]

Paolo90 intendi il paragrafo di questo libro:
http://www.liguori.it/schedanew.asp?isbn=1501 ?

[Paolo902]

Sì, esatto; ti informo comunque che ne esiste una versione più recente, come puoi vedere qui.

[dissonance]

"Mrhaha":Il prof ci ha detto che il duale di $L^1(\Omega)$ è più "grande" di $L^{\inf}(\Omega)$, e sono curioso di sapere cosa potremmo dire in più.

Come dice Paolo, mi sa che ti sei confuso, è al contrario: il duale di \(L^\infty(\Omega)\) contiene strettamente \(L^1(\Omega)\), salvo il caso banale in cui \(\Omega\) è un insieme finito.

Cosa sia questo spazio duale non lo so, bisognerebbe chiedere a qualcuno che si occupa di analisi funzionale. Ci saranno sicuramente teoremi a tonnellate su questo argomento. Ma non sono questioni semplici.

[Paolo902]

@dissonance: non sono certo la persona indicata per dare suggerimenti, ma una descrizione "esplicita" del duale di $L^\infty$ c'è sullo Yosida, pag. 118. Si tratta in poche parole dell'insieme di tutte le funzioni di insieme finitamente additive, assolutamente continue rispetto alla misura che hai messo sul tuo $L^\infty$ e la norma sul duale è data dalla variazione totale. Ma ricordo che c'è qualcosa anche sul Dunford-Schwartz (non ricordo dove). Comunque sono d'accordo con te, ci saranno tonnellate di teoremi a proposito. E' bello rileggerti di tanto in tanto (purtroppo anche io, ultimamente, passo poco di qui... leggo spesso ma intervengo di rado causa mancanza tempo).

[Mrhaha]

Ragazzi scusatemi, nella fretta di scrivere il post ho scritto una cosa per un'altra! Scusatemi ancora!
Cosulterò lo Yosida!
Grazie per i suggerimenti!