Duale di $l_1$

[GioGia3]

Ciao a tutti,
avrei un esercizio di analisi funzionale che mi ha un po' bloccata:
descrivere il duale di $ l_1 $ .
Ho pensato di fare così:
sia F un funzionale continuo su $l_1$ . Prendo la successione $e^n =(0,0,...,0,1,0,0,...)$ cioè
$(e^n)_i={(0,if i!=n),(1, if x=i):}$
Genero $F e^n = b_n$.
$(b_n)_n $ $in$ $l^\infty$
Dimoistro questo e poi dovrei dimostrare che $l^1$ è isomorfo a $l^\infty$ ?
Se potete datemi qualche dritta, grazie per l'attenzione

[misanino]

" GioGia":Ciao a tutti,
avrei un esercizio di analisi funzionale che mi ha un po' bloccata:
descrivere il duale di $ l_1 $ .
Ho pensato di fare così:
sia F un funzionale continuo su $l_1$ . Prendo la successione $e^n =(0,0,...,0,1,0,0,...)$ cioè
$(e^n)_i={(0,if i!=n),(1, if x=i):}$
Genero $F e^n = b_n$.
$(b_n)_n $ $in$ $l^\infty$
Dimoistro questo e poi dovrei dimostrare che $l^1$ è isomorfo a $l^\infty$ ?
Se potete datemi qualche dritta, grazie per l'attenzione

Non capisco che cosa hai fatto
Hai posto $b_n=F e^n$ e va bene.
Ma come fai a dire che $(b_n)_n\in l^(\infty)$?

[GioGia3]

Per fare quella parte ho fatto:
$|b_n| = |F e^n| <= ||F||* ||e^n|| = ||F||$ $=>$ $(b_n)_n in l^\infty$

Ma non ne sono molto convinta...

[gugo82]

" GioGia":Per fare quella parte ho fatto:
$|b_n| = |F e^n| <= ||F||* ||e^n|| = ||F||$ $=>$ $(b_n)_n in l^\infty$

Ma non ne sono molto convinta...

Esatto; praticamente usi la definizione della norma del funzionale.
Sii più convinta di ciò che fai...

Ora hai fatto vedere che ad ogni [tex]$F\in (\ell^1)^*$[/tex] può essere associata una [tex]$b=(b_n)\in \ell^\infty$[/tex], quindi si può immergere [tex]$(\ell^1)^*$[/tex] in [tex]$\ell^\infty$[/tex] e scrivere "ingenuamente" [tex]$(\ell^1)^*\subseteq \ell^\infty$[/tex]; per mostrare l'immersione inversa, devi provare che ad ogni [tex]$b\in \ell^\infty$[/tex] si può associare un funzionale lineare e continuo su [tex]$\ell^1$[/tex]... Come faresti?