Duale di $C[a,b]$
Sto tentando di studiare il duale di $C[a,b]$ ma avrei un po' di domande. E' vero che è isomorfo allo spazio delle funzioni a variazione limitata $BV[a,b]$ (o solo a un suo sottospazio? (*))?
Inoltre è vero che lo spazio $BV[a,b]$ (o di nuovo soltanto un suo sottospazio(*)) è isomorfo allo spazio $\mu[a,b]$ delle misure (di Baire) con segno?
Spero che qualcuno possa chiarirmi le idee e fornirmi in caso delle dimostrazioni di questi due fatti.
Tutti gli appunti, dispense e testi a riguardo sono ben accetti ovviamente
Grazie.
(*) Dai pochi appunti confusi che ho mi pare di capire che questi isomorfismi valgano soltanto col sottospazio delle funzioni a variazione limitata continue a destra e tali che $f(a)=0$. Ma poi mi trovo che $BV[a,b]$ e $\mu[a,b]$ vengono identificati, da cui le mie perplessità.
Inoltre è vero che lo spazio $BV[a,b]$ (o di nuovo soltanto un suo sottospazio(*)) è isomorfo allo spazio $\mu[a,b]$ delle misure (di Baire) con segno?
Spero che qualcuno possa chiarirmi le idee e fornirmi in caso delle dimostrazioni di questi due fatti.
Tutti gli appunti, dispense e testi a riguardo sono ben accetti ovviamente
Grazie.
(*) Dai pochi appunti confusi che ho mi pare di capire che questi isomorfismi valgano soltanto col sottospazio delle funzioni a variazione limitata continue a destra e tali che $f(a)=0$. Ma poi mi trovo che $BV[a,b]$ e $\mu[a,b]$ vengono identificati, da cui le mie perplessità.
Risposte
Probabilmente la richiesta di avere funzioni continue a destra e che si annullano in un estremo serve solo ad avere una corrispondenza biunivoca tra misure e funzioni. Per esempio, se una funzione $\phi$ induce la misura $d\phi$, la funzione $\phi + 50$ induce daccapo la stessa misura $d\phi$.
Grazie per la risposta!
Probabilmente allora anche nel primo punto sta lì il problema perché per dimostrare la corrispondenza tra $C[a,b]^{\ast}$ e $BV[a,b]$ associa a $F$ il funzionale $f \mapsto \int f dF$ e in questo verso non ci sono problemi.
Nell'altro verso associa a $\phi \in C[a,b]^{\ast}$ la funzione così definita: ove \(\displaystyle F(x)=\phi(\chi_{[0,x]}) \). Ma se al posto di questa $F$ ne prendo una che differisce per una costante non cambia niente, giusto?
Probabilmente allora anche nel primo punto sta lì il problema perché per dimostrare la corrispondenza tra $C[a,b]^{\ast}$ e $BV[a,b]$ associa a $F$ il funzionale $f \mapsto \int f dF$ e in questo verso non ci sono problemi.
Nell'altro verso associa a $\phi \in C[a,b]^{\ast}$ la funzione così definita: ove \(\displaystyle F(x)=\phi(\chi_{[0,x]}) \). Ma se al posto di questa $F$ ne prendo una che differisce per una costante non cambia niente, giusto?
No, è nell'altro verso che hai problemi di unicità. I funzionali
\[
f\mapsto \int f dF
\]
e
\[
f\mapsto \int f d(F+50)
\]
sono uguali.
\[
f\mapsto \int f dF
\]
e
\[
f\mapsto \int f d(F+50)
\]
sono uguali.
Ah sì, giusto, mi sono confuso 
Grazie ancora!
Ne approfitto per farti un'altra domanda. Data una funzione (a variazione limitata) $F$ su $[a,b]$, indico con $\mu_F$ la misura da essa generata. Ora, posso decomporre $F=G-H$ dove $G,H$ sono rispettivamente la variazione positiva e la variazione negativa di $F$ (ponendo $F(a)=0$). Ma allora $\mu_F = \mu_G - \mu_H$.
Ogni misura con segno si decompone (decomposizione di Jordan) in parte positiva e parte negativa. Allora $\mu_F=\mu_{+}-\mu_{-}$ dove le due misure a destra dell'uguale sono positive e mutuamente singolari. Questa decomposizione è unica.
Voglio dimostrare che $\mu_G=\mu_{+}$ e $\mu_H=\mu_{-}$. Le misure $\mu_G$ e $\mu_H$ sono positive perché costruite a partire da funzioni crescenti. Mi rimane da dimostrare che sono mutuamente singolari per concludere sfruttando l'unicità. Hai qualche idea?
Grazie ancora!Ne approfitto per farti un'altra domanda. Data una funzione (a variazione limitata) $F$ su $[a,b]$, indico con $\mu_F$ la misura da essa generata. Ora, posso decomporre $F=G-H$ dove $G,H$ sono rispettivamente la variazione positiva e la variazione negativa di $F$ (ponendo $F(a)=0$). Ma allora $\mu_F = \mu_G - \mu_H$.
Ogni misura con segno si decompone (decomposizione di Jordan) in parte positiva e parte negativa. Allora $\mu_F=\mu_{+}-\mu_{-}$ dove le due misure a destra dell'uguale sono positive e mutuamente singolari. Questa decomposizione è unica.
Voglio dimostrare che $\mu_G=\mu_{+}$ e $\mu_H=\mu_{-}$. Le misure $\mu_G$ e $\mu_H$ sono positive perché costruite a partire da funzioni crescenti. Mi rimane da dimostrare che sono mutuamente singolari per concludere sfruttando l'unicità. Hai qualche idea?
Buh non ho mai studiato queste cose. Immagino che dove $F$ varia positivamente, cioè, dove è crescente, $\mu_H$ è nulla perché $H$ è costante. Cose del genere. Ma sto parlando così tanto per dire.
Sì, anche secondo me l'idea da seguire è quella, però non riesco a formalizzarlo. Poi non ci ho più provato. Dovrei trovare un insieme $E$ tale che $\mu_G(E)=\mu_H(E^c)=0$.
Se poi ci riprovo e ci riesco, posto la soluzione. Grazie
Se poi ci riprovo e ci riesco, posto la soluzione. Grazie
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo