DPE, equazioni del trasporto
Salve a tutti, sono bloccato nello studio del seguente problema alle derivate parziali, cui traccia recita:
Sia \( \alpha \ge 0 \) e \( u(x, y) \) soluzione dell'equazione
\[ x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} = \alpha\, u \]
Sapendo che \( u(x,y) = 1 \) sulla circonferenza \( \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2=1 \} \),determinare i valori di
\( u(x, y) \).
Allora si procede con lo studio di \( \alpha=0 \), nel cui caso si ha un sistema omogeneo.
Si trovano le curve caratteristiche parametrizzate nella forma
\[ \left\{ \begin{aligned} &x\prime (t) =x & x(0)=x_0 \\
&y\prime (t) =y & y(0)=y_0
\end{aligned}
\right. \]
Da cui:
\[ \left\{ \begin{aligned} &x=x_0\mathrm{e}^t \\
&y=y_0\mathrm{e}^t
\end{aligned}
\right. \]
che rappresentano delle semirette parametrizzate in \( t \) uscenti dall'origine. Lungo le curve caratteristiche:
\[ u(x,y) = u(x_0,y_0) = 1 \]
Tutte le caratteristiche attraversano la circonferenza in un punto e quindi si ha che \(u(x,y)\) varrà 1 lungo tutte le caratteristiche.
Se \( \alpha \not= 0 \) il sistema non è piu' omogeneo, le curve caratteristiche restano le stesse tuttavia \(u\) non sarà costante lungo quelle semirette.
Si definisce \( \bar{u}(t) = u(x(t),y(t)) \), con \( \bar{u}\prime(t)=\alpha\,\bar{u}(t) \), da cui \( \bar{u}(t)=C\,\mathrm{e}^{\alpha t} \)
Si ha che \( \bar{u}(0) = u(x(0),y(0)) = u(x_0,y_0) =1 \) da cui \(\bar{u}(0) =C \mathrm{e}^{\alpha 0} = 1 \Rightarrow C=1 \Rightarrow \bar{u}(t) =\mathrm{e}^{\alpha t}\)
Ora arriva la parte che non mi è chiara, in cui l'esercizio prosegue ponendo
\[ \left\{ \begin{aligned}
&x_0=\frac{x}{\sqrt{(x^2+y^2)} }\\
&y_0=\frac{y}{\sqrt{(x^2+y^2)} }
\end{aligned}
\right. \]
che penso siano le condizioni iniziali scelte proprio sulla circonferenza di raggio 1, su cui ho informazioni.
Prosegue in questo modo: partendo da
\[ \left\{ \begin{aligned} &x=x_0\mathrm{e}^t \\
&y=y_0\mathrm{e}^t
\end{aligned}
\right. \]
trova \( \mathrm{e}^t \) per cui torna a \( y(t)=y \) e \(x(t) = x \), ovvero
\[ \mathrm{e}^t=\sqrt{(x^2+y^2)} \]
Quindi trova la soluzione con questi passaggi:
\[ u(x,y) = u(x(y),y(t))= \bar{u}(t) =\mathrm{e}^{\alpha t} = (\mathrm{e}^t)^{\alpha} = (x^2+y^2)^{\alpha / 2} \]
Grazie a chi vorrà offrirmi delucidazioni
Saluti
JCM
Sia \( \alpha \ge 0 \) e \( u(x, y) \) soluzione dell'equazione
\[ x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} = \alpha\, u \]
Sapendo che \( u(x,y) = 1 \) sulla circonferenza \( \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2=1 \} \),determinare i valori di
\( u(x, y) \).
Allora si procede con lo studio di \( \alpha=0 \), nel cui caso si ha un sistema omogeneo.
Si trovano le curve caratteristiche parametrizzate nella forma
\[ \left\{ \begin{aligned} &x\prime (t) =x & x(0)=x_0 \\
&y\prime (t) =y & y(0)=y_0
\end{aligned}
\right. \]
Da cui:
\[ \left\{ \begin{aligned} &x=x_0\mathrm{e}^t \\
&y=y_0\mathrm{e}^t
\end{aligned}
\right. \]
che rappresentano delle semirette parametrizzate in \( t \) uscenti dall'origine. Lungo le curve caratteristiche:
\[ u(x,y) = u(x_0,y_0) = 1 \]
Tutte le caratteristiche attraversano la circonferenza in un punto e quindi si ha che \(u(x,y)\) varrà 1 lungo tutte le caratteristiche.
Se \( \alpha \not= 0 \) il sistema non è piu' omogeneo, le curve caratteristiche restano le stesse tuttavia \(u\) non sarà costante lungo quelle semirette.
Si definisce \( \bar{u}(t) = u(x(t),y(t)) \), con \( \bar{u}\prime(t)=\alpha\,\bar{u}(t) \), da cui \( \bar{u}(t)=C\,\mathrm{e}^{\alpha t} \)
Si ha che \( \bar{u}(0) = u(x(0),y(0)) = u(x_0,y_0) =1 \) da cui \(\bar{u}(0) =C \mathrm{e}^{\alpha 0} = 1 \Rightarrow C=1 \Rightarrow \bar{u}(t) =\mathrm{e}^{\alpha t}\)
Ora arriva la parte che non mi è chiara, in cui l'esercizio prosegue ponendo
\[ \left\{ \begin{aligned}
&x_0=\frac{x}{\sqrt{(x^2+y^2)} }\\
&y_0=\frac{y}{\sqrt{(x^2+y^2)} }
\end{aligned}
\right. \]
che penso siano le condizioni iniziali scelte proprio sulla circonferenza di raggio 1, su cui ho informazioni.
Prosegue in questo modo: partendo da
\[ \left\{ \begin{aligned} &x=x_0\mathrm{e}^t \\
&y=y_0\mathrm{e}^t
\end{aligned}
\right. \]
trova \( \mathrm{e}^t \) per cui torna a \( y(t)=y \) e \(x(t) = x \), ovvero
\[ \mathrm{e}^t=\sqrt{(x^2+y^2)} \]
Quindi trova la soluzione con questi passaggi:
\[ u(x,y) = u(x(y),y(t))= \bar{u}(t) =\mathrm{e}^{\alpha t} = (\mathrm{e}^t)^{\alpha} = (x^2+y^2)^{\alpha / 2} \]
Grazie a chi vorrà offrirmi delucidazioni
Saluti
JCM
Risposte
In una equazione di trasporto prima devi individuare le caratteristiche (che, come hai già osservato, nel tuo caso sono i segmenti che vanno dall'origine a un punto del bordo della circonferenza), poi su ogni caratteristica fissata risolvi una opportuna ODE.
Nello specifico, fissato \(y\in\partial B_1(0)\), consideri la restrizione alla caratteristica \([0,y]\) definita da \(w(t) := u(ty)\), \(t\in [0,1]\).
Osservi che
\[
w'(t) = y\cdot\nabla u(ty) = \frac{1}{t} \alpha u(ty) = \frac{\alpha}{t} w(t),\qquad t\in (0,1];
\]
inoltre devi avere che \(w(1) = u(y) = 1\).
Se risolvi il problema di Cauchy ottieni \( w(t) = t^{\alpha}\); di conseguenza \( u(ty) = t^{\alpha}\) per ogni \( y\in\partial B_1(0)\).
Ora, se \(x \in B_1(0)\setminus\{0\}\), possiamo scrivere \( x= ty\) con \( t= \|x\|\) e \( y = x/ \|x\|\in\partial B_1(0)\), dunque
\[
u(x) = u(ty) = t^{\alpha} = \|x\|^{\alpha}.
\]
Nello specifico, fissato \(y\in\partial B_1(0)\), consideri la restrizione alla caratteristica \([0,y]\) definita da \(w(t) := u(ty)\), \(t\in [0,1]\).
Osservi che
\[
w'(t) = y\cdot\nabla u(ty) = \frac{1}{t} \alpha u(ty) = \frac{\alpha}{t} w(t),\qquad t\in (0,1];
\]
inoltre devi avere che \(w(1) = u(y) = 1\).
Se risolvi il problema di Cauchy ottieni \( w(t) = t^{\alpha}\); di conseguenza \( u(ty) = t^{\alpha}\) per ogni \( y\in\partial B_1(0)\).
Ora, se \(x \in B_1(0)\setminus\{0\}\), possiamo scrivere \( x= ty\) con \( t= \|x\|\) e \( y = x/ \|x\|\in\partial B_1(0)\), dunque
\[
u(x) = u(ty) = t^{\alpha} = \|x\|^{\alpha}.
\]
"JackCM":Sia \( \alpha \ge 0 \) e \( u(x, y) \) soluzione dell'equazione
\[ x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} = \alpha\, u \]
Sapendo che \( u(x,y) = 1 \) sulla circonferenza \( \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2=1 \} \),determinare i valori di
\( u(x, y) \).
Allora si procede con lo studio di \( \alpha=0 \), nel cui caso si ha un sistema omogeneo.
Si trovano le curve caratteristiche parametrizzate nella forma
\[ \left\{ \begin{aligned} &x\prime (t) =x & x(0)=x_0 \\
&y\prime (t) =y & y(0)=y_0
\end{aligned}
\right. \]
Da cui:
\[ \left\{ \begin{aligned} &x=x_0\mathrm{e}^t \\
&y=y_0\mathrm{e}^t
\end{aligned}
\right. \]
che rappresentano delle semirette parametrizzate in \( t \) uscenti dall'origine. Lungo le curve caratteristiche:
\[ u(x,y) = u(x_0,y_0) = 1 \]
Tutte le caratteristiche attraversano la circonferenza in un punto e quindi si ha che \(u(x,y)\) varrà 1 lungo tutte le caratteristiche.
Se \( \alpha \not= 0 \) il sistema non è piu' omogeneo, le curve caratteristiche restano le stesse tuttavia \(u\) non sarà costante lungo quelle semirette.
Si definisce \( \bar{u}(t) = u(x(t),y(t)) \), con \( \bar{u}\prime(t)=\alpha\,\bar{u}(t) \), da cui \( \bar{u}(t)=C\,\mathrm{e}^{\alpha t} \)
Si ha che \( \bar{u}(0) = u(x(0),y(0)) = u(x_0,y_0) =1 \) da cui \(\bar{u}(0) =C \mathrm{e}^{\alpha 0} = 1 \Rightarrow C=1 \Rightarrow \bar{u}(t) =\mathrm{e}^{\alpha t}\)
Ora arriva la parte che non mi è chiara, in cui l'esercizio prosegue ponendo
\[ \left\{ \begin{aligned}
&x_0=\frac{x}{\sqrt{(x^2+y^2)} }\\
&y_0=\frac{y}{\sqrt{(x^2+y^2)} }
\end{aligned}
\right. \]
che penso siano le condizioni iniziali scelte proprio sulla circonferenza di raggio 1, su cui ho informazioni.
Prosegue in questo modo: partendo da
\[ \left\{ \begin{aligned} &x=x_0\mathrm{e}^t \\
&y=y_0\mathrm{e}^t
\end{aligned}
\right. \]
trova \( \mathrm{e}^t \) per cui torna a \( y(t)=y \) e \(x(t) = x \), ovvero
\[ \mathrm{e}^t=\sqrt{(x^2+y^2)} \]
Quindi trova la soluzione con questi passaggi:
\[ u(x,y) = u(x(y),y(t))= \bar{u}(t) =\mathrm{e}^{\alpha t} = (\mathrm{e}^t)^{\alpha} = (x^2+y^2)^{\alpha / 2} \]
Grazie a chi vorrà offrirmi delucidazioni
Saluti
JCM
Le caratteristiche dell'operatore differenziale \(\langle (x,y),\ \nabla u(x,y)\rangle\) sono le semirette condotte per l'origine.
Dato che la curva portante i dati è regolare assai e non caratteristica, la soluzione della tue equazione esiste in un bell'intorno pieno della tua curva.
Fissato un punto variabile \((x,y)\neq o\) nel piano, esiste un'unica caratteristica passante per \((x,y)\), i.e. la semiretta condotta per \(o\) ed \((x,y)\): quindi la tue soluzione sarà definita in tutto \(\mathbb{R}^2\setminus \{o\}\).
Tale caratteristica incontra la curva portante i dati nel punto \((x_0,y_0)=(x/\sqrt{x^2+y^2}, y/\sqrt{x^2+y^2})\).
Ora, sai che lungo ogni caratteristica, detto \(t\) il parametro corrente sulla semiretta, hai:
\[
u(x(t),y(t)) =e^{\alpha t}\; ,
\]
quindi, detto \(\tau\) il valore del parametro corrispondente a \((x,y)\), i.e. l'unico tale che \((x(\tau),y(\tau))=(x,y)\), hai:
\[
u(x,y)=e^{\alpha \tau}\; ;
\]
d'altra parte la caratteristica passante per \((x,y)\) ha equazioni:
\[
x(t)=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\ e^t,\quad y(t)=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\ e^t
\]
quindi in corrispondenza di \(t=\tau\) trovi:
\[
x=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\ e^\tau,\quad y=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\ e^\tau\; .
\]
Per ottenere il valore \(u(x,y)\), allora, ti basta eliminare \(\tau\) dal sistema:
\[
\begin{cases}
x=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\ e^\tau \\
y=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\ e^\tau \\
u(x,y) = e^{\alpha \tau}\; ;
\end{cases}
\]
dalle prime due segue \(\sqrt{x^2+y^2}=e^\tau\), dunque dalla terza ottieni:
\[
u(x,y)=(x^2+y^2)^{\alpha/2}\; .
\]
Grazie mille a entrambi per la risposta!
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