Dove vale il teorema della media integrale?

[dissonance]

Proposizione Sia $f : RR \to RR$ continua. Per ogni $a
Come sappiamo questo teorema può fallire se il codominio di $f$ non è $RR$ ma uno spazio vettoriale di natura diversa: ad esempio la mappa $f: RR \to CC,\ f(theta)=e^{i theta)$ non è mai nulla ma $int_0^{2pi}f(theta) d theta=0$. Tuttavia, io credo che dotando opportunamente il codominio di una struttura ordinata il teorema possa essere recuperato. Formalmente:

Domanda Sia $E$ uno spazio di Banach. Quali condizioni richiedere su $E$ affinché risulti vero che per ogni $f: RR \to E$ continua e per ogni $a
La mia congettura è che il risultato sia vero se $E$ è un reticolo di Banach.

[riedit] Questa congettura è falsa. Detto $K={1, 2}$, lo spazio $E=C(K; RR)$ è essenzialmente $RR^2$ strutturato come reticolo di Banach. Ma adattando l'esempio di prima si vede che in questo caso la proposizione non è verificata.

[Rigel1]

Mah, ci dovrei pensare, ma così a occhio direi che il risultato è in generale falso a meno che non si supponga che [tex]f([a,b])[/tex] sia un segmento.

[dissonance]

Si, dicendo che $f([a, b])$ deve essere un segmento condensi in una sola frase tutto ciò che ci serve per mimare la dimostrazione solita del teorema della media. Formalizzo un po':

Sia $(E, le, ||*||)$ un reticolo di Banach (*) e sia $f: [a, b] \to E$ una mappa continua tale che $f([a, b]_{RR})=[m, M]_E$ per elementi $m, M \in E$. Allora esiste $xi \in [a, b]_{RR}$ tale che $int_a^b f(s) ds=(b-a)f(xi)$.

Dimostrazione: Per monotonia dell'integrale è

$m \le 1/(b-a) int_a^b f(s) ds \le M$

quindi $1/(b-a) int_a^b f(s) ds$ è nell'immagine di $f$. /////

Vabbé. Resta il fatto che questa proprietà $f([a, b]_{RR})=[m, M]_E$ mi pare estremamente improbabile che possa valere per tutte le funzioni $f$, a meno che $E$ non sia proprio $RR$. Già in $RR^2$, con l'ordinamento $(a_1, b_1) \le (a_2, b_2) iff a_1 \le a_2, b_1 \le b_2$, è falso. No, mi sono convinto che condizioni buone non si riescono a trovare.

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Veramente ora mi interesserebbe trovare un controesempio nel caso $E=C_0([0, +\infty); RR)$, lo spazio delle funzioni continue e infinitesime all'infinito. Ovvero, trovare una funzione $f: [a, b]\to C_0([0, infty); RR)$ continua ma tale che la media integrale $1/(b-a)int_a^b f(s) ds$ non appartenga a $f([a, b])$. Si riuscirà a trovare un esempio semplice...? Mah. Ci penso un po'.

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(*) E questo sicuramente si può indebolire, basterà richiedere che $E$ sia uno spazio vettoriale ordinato e normato direi. Comunque non sono argomenti che padroneggio quindi scendere nei dettagli mi è difficile. E poi in questo caso non serve nemmeno.

[dissonance]

Eccolo qua l'esempio. Se non ho commesso errori questo dimostra che il teorema della media integrale non vale per funzioni a valori in $C_0([0, infty); RR)$.

Esempio. Definiamo una applicazione $f:[0, 1] \to C_0([0, infty); RR)$ mediante la formula

$forall t\in[0, 1], \forall x \in [0, \infty)\ :\ f(t)(x)=e^{-x}cos(2 pi t+x)$.

$f$ è una mappa Lipschitziana con costante $2pi$ quindi in particolare essa è continua. Inoltre la media integrale di $f$ è la funzione identicamente nulla:

$forall x \ge 0, [\int_0^1f(t)dt](x)=int_0^1f(t)(x)dt=int_0^1e^{-x}cos(2 pi t + x) dt=0$; ([size=75]*[/size])

ma non esiste alcuna $s \in [0, 1]$ per cui $f(s)$ sia nulla. ////


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(*) Il passaggio $[int_0^1 f(t)dt](x)=int_0^1f(t)(x)dt$ è conseguenza della continuità di questa forma lineare su $C_0([0, infty); RR)$:

$phi \mapsto phi(x)$.