Dove sono densi i polinomi?
Ciao a tutti, volevo fare una domanda riguardo l'insieme dei polinomi.
1) Mi pare di ricordare che i polinomi su $[a,b]$ sono densi nell'insieme delle funzioni continue [tex]C([a,b])[/tex] (Stone-Weierstrass?); è vero che ciò vale anche su $RR$, ovvero i polinomi in $RR$ sono densi in $C(RR)$?
2) Che si può dire invece riguardo alla loro densità in $L^2$ (o $L^p$), sempre sia su $[a,b]$ che su $RR$?
Perché ho bisogno di un risultato di densità riguardo ai polinomi per snellire una dimostrazione (che non centra quasi niente con analisi
) ma non mi ricordo bene e non vorrei fare conclusioni errate.
Grazie!
1) Mi pare di ricordare che i polinomi su $[a,b]$ sono densi nell'insieme delle funzioni continue [tex]C([a,b])[/tex] (Stone-Weierstrass?); è vero che ciò vale anche su $RR$, ovvero i polinomi in $RR$ sono densi in $C(RR)$?
2) Che si può dire invece riguardo alla loro densità in $L^2$ (o $L^p$), sempre sia su $[a,b]$ che su $RR$?
Perché ho bisogno di un risultato di densità riguardo ai polinomi per snellire una dimostrazione (che non centra quasi niente con analisi
) ma non mi ricordo bene e non vorrei fare conclusioni errate.Grazie!
Risposte
\(C(\mathbb{R})\) non è neanche uno spazio normato. O meglio, non con la usuale norma del sup. Ci sono infatti le funzioni non limitate per le quali la norma del sup vale \(+\infty\).
Comunque i polinomi formano un sottospazio denso sia di \(C([a, b])\) sia di tutti gli spazi \(L^p([a, b])\).
Comunque i polinomi formano un sottospazio denso sia di \(C([a, b])\) sia di tutti gli spazi \(L^p([a, b])\).
"dissonance":
\(C(\mathbb{R})\) non è neanche uno spazio normato. O meglio, non con la usuale norma del sup. Ci sono infatti le funzioni non limitate per le quali la norma del sup vale \(+\infty\).
Hai ragione, non ci stavo pensando...
Comunque i polinomi formano un sottospazio denso sia di \(C([a, b])\) sia di tutti gli spazi \(L^p([a, b])\).
Benissimo grazie mille!
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