Dove sbaglio? soluzione particolare eq differenziali
il sist diff è
$y'_1=y_2$
$y'_2=-2y_1+3y_2+e^x$
ed ha come soluzioni
$y_1=C1e^(2x)+C2e^x$
$y_2=2C1e^(2x)+C2e^x$
dal sistema di partenza, ricavando un eq diff del secondo ordine equivalente al sistema del tipo $y'' + a(x)y' + b(x)y = f(x)$ dove $f(x)=e^x$
a questo punto la soluzione particolare è del tipo $Axe^x$ poichè 1 è radice di molteplicità 1. giusto??
adesso calcolo
$y'_1=Axe^x + Ae^x$
$y'_2=Bxe^x + Be^x$
vado a sostituire nel sistema:
$Axe^x + Ae^x=Bxe^x
$Bxe^x + Be^x=-2Axe^x+3Bxe^x+e^x$
ma come lo risolvo???
vi pego un aiuto
se scrivo:
$Ax=Bx$
$A=0$
$Bx=-2A+3B$
$B=1$
non arrivo a nulla quale è l'errore che ho sicuramente sotto il naso? :(
$y'_1=y_2$
$y'_2=-2y_1+3y_2+e^x$
ed ha come soluzioni
$y_1=C1e^(2x)+C2e^x$
$y_2=2C1e^(2x)+C2e^x$
dal sistema di partenza, ricavando un eq diff del secondo ordine equivalente al sistema del tipo $y'' + a(x)y' + b(x)y = f(x)$ dove $f(x)=e^x$
a questo punto la soluzione particolare è del tipo $Axe^x$ poichè 1 è radice di molteplicità 1. giusto??
adesso calcolo
$y'_1=Axe^x + Ae^x$
$y'_2=Bxe^x + Be^x$
vado a sostituire nel sistema:
$Axe^x + Ae^x=Bxe^x
$Bxe^x + Be^x=-2Axe^x+3Bxe^x+e^x$
ma come lo risolvo???
vi pego un aiuto se scrivo:
$Ax=Bx$
$A=0$
$Bx=-2A+3B$
$B=1$
non arrivo a nulla
quale è l'errore che ho sicuramente sotto il naso? :(
Risposte
"Knuckles":
dal sistema di partenza, ricavando un eq diff del secondo ordine equivalente al sistema del tipo $y'' + a(x)y' + b(x)y = f(x)$ dove $f(x)=e^x$
a questo punto la soluzione particolare è del tipo $Axe^x$ poichè 1 è radice di molteplicità 1. giusto??
Quando calcoli le radici dell'equazione caratteristica associata $\lambda^2-3\lambda+2=0$, ha due radici reali e distinte. Perchè ne tralasci una di esse?
non ho capito...
e le soluzioni sono 2 e 1... ma le ho messe nella soluzione...
dove ho scritto $y_1,y_2$
dove ho scritto $y_1,y_2$
Secondo me hai sbagliato a metà, perchè quelle che vai a sosttuire nel sistema, non sono derivate, bensì soluzione particolari. chiamiamole $\bar y$
"Knuckles":
il sist diff è
$y'_1=y_2$
$y'_2=-2y_1+3y_2+e^x$
ed ha come soluzioni
$y_1=C1e^(2x)+C2e^x$
$y_2=2C1e^(2x)+C2e^x$
Io credo che ci sia già un errore qui.
Infatti con la soluzione scritta:
$y'_2=4C1e^(2x)+C2e^(x)$
mentre $-2y_1+3y_2+e^x=-2C1e^(2x)-2C2e^x+6C1e^(2x)+3C2e^x+e^x=4C1e^(2x)+C2e^(x)+e^x$
e quindi c'è un termine $e^x$ di troppo che ci dice che quelle che hai scritto non sono le soluzioni del sistema differenziale segnato
"misanino":
[quote="Knuckles"]il sist diff è
$y'_1=y_2$
$y'_2=-2y_1+3y_2+e^x$
ed ha come soluzioni
$y_1=C1e^(2x)+C2e^x$
$y_2=2C1e^(2x)+C2e^x$
Io credo che ci sia già un errore qui.
Infatti con la soluzione scritta:
$y'_2=4C1e^(2x)+C2e^(x)$
mentre $-2y_1+3y_2+e^x=-2C1e^(2x)-2C2e^x+6C1e^(2x)+3C2e^x+e^x=4C1e^(2x)+C2e^(x)+e^x$
e quindi c'è un termine $e^x$ di troppo che ci dice che quelle che hai scritto non sono le soluzioni del sistema differenziale segnato[/quote]
Non ho capito il tuo ragionamento, comunque la soluzione del sistema omogeneo scritto da knuckles mi pare corretta..
anche a me... 
però il mio problema è capire perchè non mi viene il sistema quando vado a sostituire le soluzioni particolari....
però il mio problema è capire perchè non mi viene il sistema quando vado a sostituire le soluzioni particolari....
Il mio ragionamento è:
dalla seconda equazione del sistema si ha $y'_2=-2y_1+3y_2+e^x$
Se, come scritto da Knuckles, fosse $y_2=2C1e^(2x)+C2e^x$
allora
$y'_2=4C1e^(2x)+C2e^(x)$
mentre $-2y_1+3y_2+e^x=-2C1e^(2x)-2C2e^x+6C1e^(2x)+3C2e^x+e^x=4C1e^(2x)+C2e^(x)+e^x$
e le 2 sono diverse, contro quanto mi chiede la 2° equazione del sistema.
Perciò la soluzione di Knuckles dovrebbe essere sbagliata da subito
Avete capito, ora?
dalla seconda equazione del sistema si ha $y'_2=-2y_1+3y_2+e^x$
Se, come scritto da Knuckles, fosse $y_2=2C1e^(2x)+C2e^x$
allora
$y'_2=4C1e^(2x)+C2e^(x)$
mentre $-2y_1+3y_2+e^x=-2C1e^(2x)-2C2e^x+6C1e^(2x)+3C2e^x+e^x=4C1e^(2x)+C2e^(x)+e^x$
e le 2 sono diverse, contro quanto mi chiede la 2° equazione del sistema.
Perciò la soluzione di Knuckles dovrebbe essere sbagliata da subito
Avete capito, ora?
la mia soluzione è dell'omogenea associata...
"misanino":
Il mio ragionamento è:
dalla seconda equazione del sistema si ha $y'_2=-2y_1+3y_2+e^x$
Se, come scritto da Knuckles, fosse $y_2=2C1e^(2x)+C2e^x$
allora
$y'_2=4C1e^(2x)+C2e^(x)$
mentre $-2y_1+3y_2+e^x=-2C1e^(2x)-2C2e^x+6C1e^(2x)+3C2e^x+e^x=4C1e^(2x)+C2e^(x)+e^x$
e le 2 sono diverse, contro quanto mi chiede la 2° equazione del sistema.
Perciò la soluzione di Knuckles dovrebbe essere sbagliata da subito
Avete capito, ora?
ah adesso ho capito. Comunque hai sbagliato ragionamento, in quanto ripeto che la soluzione trovata inizialmente si rigerisce al sistema OMOGENEO quindi senza il termine $e^x$, quindi è giusto cheavanti tale termine quando applichi il tuo ragionamento..
Ok. Adesso che hai specificato questa cosa allora siamo d'accordo sul fatto che la prima parte sia giusta.
Ora penso al resto.
Ora penso al resto.
ok.. comunque tornando all' equazione, ti ripeto che secondo me hai sbagliato (knuckles) la tua consideraione preliminare sulla forma della sol particolare.
Perchè devi quella $Axe^x$ è la forma della $\bar y$ che sistituirai al posto delle $y$, mentre al posto delle $y'$ bisogna sostituire $\bat y'$
Perchè devi quella $Axe^x$ è la forma della $\bar y$ che sistituirai al posto delle $y$, mentre al posto delle $y'$ bisogna sostituire $\bat y'$
al posto di $y'$ sostituisco la derivata no? $Axe^x + Ae^x$
"Knuckles":
al posto di $y'$ sostituisco la derivata no? $Axe^x + Ae^x$
ah giusto che cazz.. che ho detto..XD adesso controllo meglio il resto..
allora, l' impostazione del sistema è giusto. forse hai sbagliato qualche apssaggio, a me viene $A = B = 1$
${\(Axe^x + Ae^x = 0),(2Axe^x - 3Bxe^x - e^x = 0):} => 3Axe^x + ae^x - 3Bxe^x - e^x = 0$
Prova a vedere se ti tornano i conti..
${\(Axe^x + Ae^x = 0),(2Axe^x - 3Bxe^x - e^x = 0):} => 3Axe^x + ae^x - 3Bxe^x - e^x = 0$
Prova a vedere se ti tornano i conti..
Secondo me si deve fare così:
come hai giustamente detto tu $y_1=Axe^x$
A questo punto non scrivere $y_2$ usando B perchè non serve ed è scomodo.
Hai calcolato giustamente $y'_1$
Ora per la prima equazione del sistema hai $y_2=y'_1$ e quindi hai direttamente $y_2$ in dipendenza di A senza tirare in ballo alcuna B
Calcoli quindi $y'_2=y''_1$
A questo punto sostituisci $y'_2,y_1,y_2$ nella 2° equazione del sistema e risolvi una banale equazione nella sola incognita A e ricavi A
Mi sembra giusto e semplice.
Che ne dici?
come hai giustamente detto tu $y_1=Axe^x$
A questo punto non scrivere $y_2$ usando B perchè non serve ed è scomodo.
Hai calcolato giustamente $y'_1$
Ora per la prima equazione del sistema hai $y_2=y'_1$ e quindi hai direttamente $y_2$ in dipendenza di A senza tirare in ballo alcuna B
Calcoli quindi $y'_2=y''_1$
A questo punto sostituisci $y'_2,y_1,y_2$ nella 2° equazione del sistema e risolvi una banale equazione nella sola incognita A e ricavi A
Mi sembra giusto e semplice.
Che ne dici?
andra ma come hai trovatoil tuo sistema?
si ok ma perchè non viene dal sistemA?
"Knuckles":
andra ma come hai trovatoil tuo sistema?
Semplicemente ho portato tutti i menbri a sinistra e ho sommato, comunque adesso che ho letto la sol. di misanino, puoddarsi che sia giusta la sua. Io ho solo risolto il sistema prespponendo che usare $A$ e $B$ sia giusto. perchè non ho mai usato questo approccio per i sistemi.. ma solo per le equazioni "singole"..
A me esce $A=-1$
e poi $y_2=y'_1$
e poi $y_2=y'_1$
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