Dove sbaglio? soluzione particolare eq differenziali
il sist diff è
$y'_1=y_2$
$y'_2=-2y_1+3y_2+e^x$
ed ha come soluzioni
$y_1=C1e^(2x)+C2e^x$
$y_2=2C1e^(2x)+C2e^x$
dal sistema di partenza, ricavando un eq diff del secondo ordine equivalente al sistema del tipo $y'' + a(x)y' + b(x)y = f(x)$ dove $f(x)=e^x$
a questo punto la soluzione particolare è del tipo $Axe^x$ poichè 1 è radice di molteplicità 1. giusto??
adesso calcolo
$y'_1=Axe^x + Ae^x$
$y'_2=Bxe^x + Be^x$
vado a sostituire nel sistema:
$Axe^x + Ae^x=Bxe^x
$Bxe^x + Be^x=-2Axe^x+3Bxe^x+e^x$
ma come lo risolvo???
vi pego un aiuto
se scrivo:
$Ax=Bx$
$A=0$
$Bx=-2A+3B$
$B=1$
non arrivo a nulla quale è l'errore che ho sicuramente sotto il naso? :(
$y'_1=y_2$
$y'_2=-2y_1+3y_2+e^x$
ed ha come soluzioni
$y_1=C1e^(2x)+C2e^x$
$y_2=2C1e^(2x)+C2e^x$
dal sistema di partenza, ricavando un eq diff del secondo ordine equivalente al sistema del tipo $y'' + a(x)y' + b(x)y = f(x)$ dove $f(x)=e^x$
a questo punto la soluzione particolare è del tipo $Axe^x$ poichè 1 è radice di molteplicità 1. giusto??
adesso calcolo
$y'_1=Axe^x + Ae^x$
$y'_2=Bxe^x + Be^x$
vado a sostituire nel sistema:
$Axe^x + Ae^x=Bxe^x
$Bxe^x + Be^x=-2Axe^x+3Bxe^x+e^x$
ma come lo risolvo???
vi pego un aiuto se scrivo:
$Ax=Bx$
$A=0$
$Bx=-2A+3B$
$B=1$
non arrivo a nulla
quale è l'errore che ho sicuramente sotto il naso? :(
Risposte
però andra hai dimenticato un $Bxe^x$
la sol di misanino è giusta... però non capisco perchè non viene il sistema...
"Knuckles":
la sol di misanino è giusta... però non capisco perchè non viene il sistema...
Perchè non è vero che $y_2=Bxe^x$.
Perchè mai dovrebbe avere questa forma?
perchè y_2 contiene l'espressione di y_1...
"Knuckles":
perchè y_2 contiene l'espressione di y_1...
Non capisco questa affermazione??
Tu puoi scrivere che $y_1=Axe^x$ perchè, come hai giustamente detto, $y_1$ risolve un'equazione del tipo $y'' + a(x)y' + b(x)y = f(x)$
(in particolare in questo caso risolve $y''_1 -3y'_1 + 2y_1 = e^x$).
Invece $y_2$ non risolve un'equazione di questo tipo, e quindi come puoi dire che puoi scrivere $y_2=Bxe^x$?
perchè se
$f_1(x)=e^x$
$f_2(x)=3$
scrivevo $y*(x)=Ae^x+B$ per entrambe le soluzioni...
$f_1(x)=e^x$
$f_2(x)=3$
scrivevo $y*(x)=Ae^x+B$ per entrambe le soluzioni...
"Knuckles":
perchè se
$f_1(x)=e^x$
$f_2(x)=3$
scrivevo $y*(x)=Ae^x+B$ per entrambe le soluzioni...
Scusami, ma non riesco a comprendere.
Rimaniamo pure nel caso del tuo esercizio.
Non ho capito cosa ti fa pensare di poter scrivere $y_2=Bxe^x$ con B costante
allora... dalla seconda equazione ricavo $y_2$
$y_2=(y'_2+2y_1+e^x)/3$
$y_2$ contiene anche l'espressione di $y_1$ e c'è anche il termine $e^x$ quindi mi è lecito pensare che anche $y*_2$ sia del tipo $Bxe^x$
$y_2=(y'_2+2y_1+e^x)/3$
$y_2$ contiene anche l'espressione di $y_1$ e c'è anche il termine $e^x$ quindi mi è lecito pensare che anche $y*_2$ sia del tipo $Bxe^x$
Ma l'espressione che hai scritto per $y_2$ non contiene alcun termine del tipo $y''_2$.
Dal momento che $y_1$ è una funzione di x che ora conosci (Axe^x), quella che hai scritto tu è una normale equazione del tipo $y'(x)+a(x)y(x)=f(x)$
che si risolve direttamente integrando, mentre è assolutamente falso dire che $y_2(x)=Bxe^x$
Dal momento che $y_1$ è una funzione di x che ora conosci (Axe^x), quella che hai scritto tu è una normale equazione del tipo $y'(x)+a(x)y(x)=f(x)$
che si risolve direttamente integrando, mentre è assolutamente falso dire che $y_2(x)=Bxe^x$
ok grazie
Prego.
Spero che tu abbia veramente capito e non sia stato semplicemente convinto per sfinimento
Ciao
Spero che tu abbia veramente capito e non sia stato semplicemente convinto per sfinimento
Ciao
un po tutti e due 
nel senso per l'esame basta che venga il risultato poi quale metodo è indifferente a meno che non sia espressamente richiesto... però secondo me quello dico non è sbagliato... ci sarà un modo per risolvere il sistema che al momento ci sfugge
nel senso per l'esame basta che venga il risultato poi quale metodo è indifferente a meno che non sia espressamente richiesto... però secondo me quello dico non è sbagliato... ci sarà un modo per risolvere il sistema che al momento ci sfugge
"Knuckles":
un po tutti e due
nel senso per l'esame basta che venga il risultato poi quale metodo è indifferente a meno che non sia espressamente richiesto... però secondo me quello dico non è sbagliato... ci sarà un modo per risolvere il sistema che al momento ci sfugge
Io credo che invece sia proprio sbagliato (per $y_2$ si intende, perchè $y_1$ invece risolve l'equazione differenziale del secondo ordine segnata).
Anche se ammetto che non sono riuscito a spiegartelo in modo del tutto esaustivo.
Quindi ti consiglio di non farlo.
Buona fortuna per l'esame
Ciao
il modo era giusto solo che siccome $Axe^x$ non va bene devo usare $(Ax+B)e^x$... by prof
"Knuckles":
il modo era giusto solo che siccome $Axe^x$ non va bene devo usare $(Ax+B)e^x$... by prof
Ma appunto come dicevo io, no?
Per $y_1$ è giusto $Axe^x$,
ma per $y_2$ nessuno ci dice che debba essere del tipo $Bxe^x$ e infatti il tuo stesso prof ti ha detto che non è così, ma occorre $(Ax+B)e^x$
Ciao
si ma per entrambe è uguale come dicevo io
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo