Dove sbaglio in questo integrale?
Salve a tutti. Ho dei problemi con questo integrale. Non mi coincide il risultato con quello del libro
4 R \( \int_{-\pi}^{\pi} |cos(x/2)|\, dx \) . Secondo il libro (e controllando con derive) il risultato è $ 16 R $.
Ho spezzato l'integrale in più parti a seconda del segno del coseno
4 R [ \( \int_{-\pi}^{-\pi/2} -cos(x/2)\, dx \) + \( \int_{-\pi/2}^{0} cos(x/2)\, dx \) + \( \int_{0}^{\pi/2} cos(x/2)\, dx \) + \( \int_{\pi/2}^{\pi} -cos(x/2)\, dx \) ] =
$ 4 R [ [ -2 sin(x/2)] + [2 sin(x/2)] + [2sin(x/2)] + [ -2sin(x/2)] ] $
ognuno con i rispettivi estremi di integrazione
Quindi dopo i calcoli ottengo
\( 4R [ \sqrt{2} - 2 + \sqrt{2} + 2 -2 + \sqrt{2} ] \)
Dove sbaglio ?
4 R \( \int_{-\pi}^{\pi} |cos(x/2)|\, dx \) . Secondo il libro (e controllando con derive) il risultato è $ 16 R $.
Ho spezzato l'integrale in più parti a seconda del segno del coseno
4 R [ \( \int_{-\pi}^{-\pi/2} -cos(x/2)\, dx \) + \( \int_{-\pi/2}^{0} cos(x/2)\, dx \) + \( \int_{0}^{\pi/2} cos(x/2)\, dx \) + \( \int_{\pi/2}^{\pi} -cos(x/2)\, dx \) ] =
$ 4 R [ [ -2 sin(x/2)] + [2 sin(x/2)] + [2sin(x/2)] + [ -2sin(x/2)] ] $
ognuno con i rispettivi estremi di integrazione
Quindi dopo i calcoli ottengo
\( 4R [ \sqrt{2} - 2 + \sqrt{2} + 2 -2 + \sqrt{2} ] \)
Dove sbaglio ?
Risposte
scusa una domanda.. cosa significa $4R$ e $16R$ ?..
L'integrale da calcolare è
\( 4 R \int_{-\pi}^{\pi} |cos(x/2)|\, dx \)
Il risultato del libro è $ 16 R $
Comunque OK, problema risolto !!!
Posto la soluzione in caso qualcuno ne abbia bisogno.
Allora l'esercizio riguarda il calcolo della lunghezza di una curva di equazione polare
\( \rho (x) = 2R(1+cos(x)) \)
con \(x \in [ -\pi, \pi], R>0 \).
Si applica la formula
\( \int_{-\pi}^{\pi} \sqrt{\rho (x)^2+\rho ' (x)^2 } \, dx \) con
\( \rho '(x) = - 2Rsinx \)
\( \rho '(x)^2 = 4R^2sin^2x \)
\( \rho (x)^2 = 4R^(1+cos^2x+2cosx) \) .
Allora applicando la formula l'integrale diventa
\( \int_{-\pi}^{\pi} \sqrt{4R^2(1+cos^2x+2cosx)+4R^2sin^2x} \, dx \) .
Quindi dopo vari calcoli
\( 2R\sqrt{2} \int_{-\pi}^{\pi} \sqrt{1+cosx} \, dx \) =
\( 2R\sqrt{2}\sqrt{2} \int_{-\pi}^{\pi} \sqrt{(1+cosx)/2} \, dx \) =
\( 4R\int_{-\pi}^{\pi} |cos(x/2)| \, dx \) .
Mettiamo modulo a cos (x/2) perchè nell'intervallo di integrazione il coseno
è sia positivo che negativo.
Ora poichè il testo ci dice che
\( x \in [-\pi,\pi] \Rightarrow x/2 \in [-\pi/2,\pi/2] \)
e in questo ultimo intervallo il coseno si mantiene positivo quindi nell'integrale
possiamo eliminare il valore assoluto. A questo punto una primitiva di
$ cos(x/2) $ è $ 2 sin(x/2) $ quindi
\( 4R\int_{-\pi}^{\pi} cos(x/2) \, dx \) = \( 4R [2sin(\pi/2) - 2 sin(-\pi/2)]= 4R * 4 = 16R \)
\( 4 R \int_{-\pi}^{\pi} |cos(x/2)|\, dx \)
Il risultato del libro è $ 16 R $
Comunque OK, problema risolto !!!
Posto la soluzione in caso qualcuno ne abbia bisogno.Allora l'esercizio riguarda il calcolo della lunghezza di una curva di equazione polare
\( \rho (x) = 2R(1+cos(x)) \)
con \(x \in [ -\pi, \pi], R>0 \).
Si applica la formula
\( \int_{-\pi}^{\pi} \sqrt{\rho (x)^2+\rho ' (x)^2 } \, dx \) con
\( \rho '(x) = - 2Rsinx \)
\( \rho '(x)^2 = 4R^2sin^2x \)
\( \rho (x)^2 = 4R^(1+cos^2x+2cosx) \) .
Allora applicando la formula l'integrale diventa
\( \int_{-\pi}^{\pi} \sqrt{4R^2(1+cos^2x+2cosx)+4R^2sin^2x} \, dx \) .
Quindi dopo vari calcoli
\( 2R\sqrt{2} \int_{-\pi}^{\pi} \sqrt{1+cosx} \, dx \) =
\( 2R\sqrt{2}\sqrt{2} \int_{-\pi}^{\pi} \sqrt{(1+cosx)/2} \, dx \) =
\( 4R\int_{-\pi}^{\pi} |cos(x/2)| \, dx \) .
Mettiamo modulo a cos (x/2) perchè nell'intervallo di integrazione il coseno
è sia positivo che negativo.
Ora poichè il testo ci dice che
\( x \in [-\pi,\pi] \Rightarrow x/2 \in [-\pi/2,\pi/2] \)
e in questo ultimo intervallo il coseno si mantiene positivo quindi nell'integrale
possiamo eliminare il valore assoluto. A questo punto una primitiva di
$ cos(x/2) $ è $ 2 sin(x/2) $ quindi
\( 4R\int_{-\pi}^{\pi} cos(x/2) \, dx \) = \( 4R [2sin(\pi/2) - 2 sin(-\pi/2)]= 4R * 4 = 16R \)
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