Dove sbaglio?
Ho da risolvere l'equazione (iperbolica):
$ 2 u_{x x} + 6 u_{xy} + 4 u_{yy} + u_x + u_y = 0 $
Trovando la soluzione generale col metodo delle caratteristiche.
Allora ho fatto cosi:
$ 2 u_{x x} + 6 u_{xy} + 4 u_{yy} = 2 ( \partial_x + 2 \partial_y ) ( \partial_x + \partial_y ) u $
Allora ho fatto il cambio di variabili:
$ {(\xi=x+2y),(\eta=x+y):} \implies {(\partial \xi = \partial_x + 2 \partial_y),(\partial \eta = \partial_x + \partial_y):} $
Quindi l'equazione di partenza diventa (posto $U(\xi,\eta)=u(x,y)$):
$ U_{\xi \eta} = -1/2 U_{\eta} $
Integrando rispetto ad $\eta$ trovo:
$ U_\xi = -1/2 U + c(\xi) $
Poi, integrando rispetto a $\xi$, trovo:
$ U(\xi,\eta)=e^{-1/2 \xi} K(\eta) + C(\xi) $
Dove $K$ e' arbitraria e $C$ e' soluzione di:
$ C'(\xi) = - {1}/2 C(\xi) + c(\xi) $
Quindi in definitiva mi viene:
$ u(x,y) = e^{ -1/2 (x+2y) } K(x+y) + C (x + 2y) $
Il problema e' che scegliendo, ad esempio $K=1$ e $C=0$ (scelte del tutto lecite a priori) e sostituoendo nell'equazione di partenza non ottengo $0$....
Sul libro l'esercizio e' risolto ponendo:
$ 2 u_{x x} + 6 u_{xy} + 4 u_{yy} = 2 ( \partial_x - 2 \partial_y ) ( \partial_x - \partial_y ) u $
Cosa che a me sembra sbagliata, tuttavia, il risultato del libro, sostituito nell'equazione, fa venire un bel $0=0$....
Ho fatto qualche errore nei conti o c'e' proprio un errore concentuale qui sotto?
$ 2 u_{x x} + 6 u_{xy} + 4 u_{yy} + u_x + u_y = 0 $
Trovando la soluzione generale col metodo delle caratteristiche.
Allora ho fatto cosi:
$ 2 u_{x x} + 6 u_{xy} + 4 u_{yy} = 2 ( \partial_x + 2 \partial_y ) ( \partial_x + \partial_y ) u $
Allora ho fatto il cambio di variabili:
$ {(\xi=x+2y),(\eta=x+y):} \implies {(\partial \xi = \partial_x + 2 \partial_y),(\partial \eta = \partial_x + \partial_y):} $
Quindi l'equazione di partenza diventa (posto $U(\xi,\eta)=u(x,y)$):
$ U_{\xi \eta} = -1/2 U_{\eta} $
Integrando rispetto ad $\eta$ trovo:
$ U_\xi = -1/2 U + c(\xi) $
Poi, integrando rispetto a $\xi$, trovo:
$ U(\xi,\eta)=e^{-1/2 \xi} K(\eta) + C(\xi) $
Dove $K$ e' arbitraria e $C$ e' soluzione di:
$ C'(\xi) = - {1}/2 C(\xi) + c(\xi) $
Quindi in definitiva mi viene:
$ u(x,y) = e^{ -1/2 (x+2y) } K(x+y) + C (x + 2y) $
Il problema e' che scegliendo, ad esempio $K=1$ e $C=0$ (scelte del tutto lecite a priori) e sostituoendo nell'equazione di partenza non ottengo $0$....
Sul libro l'esercizio e' risolto ponendo:
$ 2 u_{x x} + 6 u_{xy} + 4 u_{yy} = 2 ( \partial_x - 2 \partial_y ) ( \partial_x - \partial_y ) u $
Cosa che a me sembra sbagliata, tuttavia, il risultato del libro, sostituito nell'equazione, fa venire un bel $0=0$....
Ho fatto qualche errore nei conti o c'e' proprio un errore concentuale qui sotto?
Risposte
Io ho provato a trovare la soluzione per altra via.
Cerco una soluzione del tip $e^(ax+by)$ con a e b da determinare.
Sostituendo nell'equazione e facendo i calcoli (che ti risparmio) trovo che
deve essere $b=-a$ oppure $b=-(2a+1)/4$
Pertanto la soluzione generale e':
$u(x,y)=C_1e^(a(x-y))+C_2e^(ax-(2a+1)/4y$
della cui esattezza ho verificato sostituendo direttamente nell'equazione data.
In particolare ponendo $C_2=0,a=1/2$ si ottiene la soluzione
$u(x,y)=e^(1/2(x-y)$ che e' diversa da $u(x,y)=e^(-1/2(x+y)$ da te trovata.
Ci deve essere qualche errore nel calcolo simbolico che purtroppo non riesco ad
individuare e che ,secondo me,e' legato alla trasformazione delle variabili..
Archimede
Cerco una soluzione del tip $e^(ax+by)$ con a e b da determinare.
Sostituendo nell'equazione e facendo i calcoli (che ti risparmio) trovo che
deve essere $b=-a$ oppure $b=-(2a+1)/4$
Pertanto la soluzione generale e':
$u(x,y)=C_1e^(a(x-y))+C_2e^(ax-(2a+1)/4y$
della cui esattezza ho verificato sostituendo direttamente nell'equazione data.
In particolare ponendo $C_2=0,a=1/2$ si ottiene la soluzione
$u(x,y)=e^(1/2(x-y)$ che e' diversa da $u(x,y)=e^(-1/2(x+y)$ da te trovata.
Ci deve essere qualche errore nel calcolo simbolico che purtroppo non riesco ad
individuare e che ,secondo me,e' legato alla trasformazione delle variabili..
Archimede
Ti ringrazio per la risposta.
La tua soluzione e' corretta e, tra l'altro, e' uguale a quella del libro (a meno di funzioni di $x-y$ e $2x-y$ a moltiplicare e da sommare)...
Dopo provo a rifare l'esercizio, forse, grazie ai tuoi suggerimenti, ho capito dov'e' l'errore....
La tua soluzione e' corretta e, tra l'altro, e' uguale a quella del libro (a meno di funzioni di $x-y$ e $2x-y$ a moltiplicare e da sommare)...
Dopo provo a rifare l'esercizio, forse, grazie ai tuoi suggerimenti, ho capito dov'e' l'errore....
Ok ho risolto.
Il mio errore era questo: tutte le integrazioni che ho fatto valgono se ci si pone sulle caratteristiche. Quindi dovevo fare si il cambio di variabili, ma ponendo:
$ {(\xi=2x-y),(\eta=x-y):} $
e poi facendo i conti... tra l'altro sono le stesse caratteristiche che trova il libro.... evidentemente quei meno erano solo degli errori di battitura visto che poi alla fine lui fa tutti i conti considerandoli come +....
Il mio errore era questo: tutte le integrazioni che ho fatto valgono se ci si pone sulle caratteristiche. Quindi dovevo fare si il cambio di variabili, ma ponendo:
$ {(\xi=2x-y),(\eta=x-y):} $
e poi facendo i conti... tra l'altro sono le stesse caratteristiche che trova il libro.... evidentemente quei meno erano solo degli errori di battitura visto che poi alla fine lui fa tutti i conti considerandoli come +....
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