Dove mi sto facendo fregare in questo integrale..
$int_o^(2pi)-ln(14+2costheta)(sentheta+costheta)d theta$
Questo integralino mi esce dal calcolo di un lavoro lungo un percorso chiuso, vabeh, ma tralsciamo la storia della sua vita.
Disegnando quella funzione (io l'ho fatto con un paio di plotter numerici per essere perfettamente sicuro che non facessero casino e ho visto che fanno la stessa cosa) e si vede chiaramente che quell'integrale è 0: è una funzione periodica di periodo $2pi$ e il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse x(i suoi valori vanno da un po' più di 3 a un po' meno di -3), e dal grafico si vede bene come si hanno delel compensazioni, insomma in sostanza è un po' come fare $int_0^(2pi)cosxdx$. Questo era già prevedibile dall'inizio date particolari simmetrie del problema di partenza...ma vabeh.
Ora, calcolando l'integrale, prima per parti poi spezzando quello che viene in tre integrali si fa abbastanza bene, viene un conto tuttavia piuttosto lungo e noioso così al terzo di questi tre mi son rotto e ho schiaffato tutto dentro a un programma che calcola le primitive.
Questo è quello che l'amico dice:
$int -(ln(14+2costheta)(sentheta+costheta)d theta= -7theta + 8sqrt(3)arctg(1/2sqrt(3)tg(theta/2))-costheta+(costheta+7)ln(2costheta+14)-ln(2costheta+14)sentheta+sentheta+c$
O bella o bella. osserviamo che $-7theta + 8sqrt(3)arctg(1/2sqrt(3)tg(theta/2))-costheta+(costheta+7)ln(2costheta+14)-ln(2costheta+14)sentheta+sentheta|_0^(2pi)=-14pi!!!$
dove sta la fregatura?Dopo un po' mi accorgo dell'errore madornale: osservate il termine $8sqrt(3)arctg(1/2sqrt(3)tg(theta/2))$. Questo $->_(theta->pi^-+2kpi^-)4sqrt(3)/pi, $ e $->_(theta->pi^++2kpi^+)-4sqrt(3)/pi$... Quindi la primitiva ha un salto in questi punti, dove ovviamente non è definita.
Disegno anche la primitiva coi soliti programmini. I salti sono appunto dell'ordine delle decine di unità (e così si capisce il perchè di quel $-14pi$ ) ma si nota anche che la derivata destra e la derivata sinistra di questi salti sono uguali. Cioè io potrei prendere tutti queste biscette di cui la funzione è fatta e unirle a uno stesso livello, ottenendo una funzione che ha come grafico quello di un seno tanto per intenderci e con periodo $2pi$. Facendo questa operazione allora la differenza dei valori della primitiva assunti da due punti a distanza $2pi$ tra loro fa 0: ecco il risultato che ci si aspettava...
Ora, la domanda: come mai mi sono fatto fregare così?Perchè si riesce a trovare una primitiva con salti non definita su tutto il dominio dell'integranda ma in cui le derivate destre e sinistre dei salti sono sempre continue?Come si fa a non cascare in queste cose?Cosa bisogna guardare? Che dice il teorema fondamentale del calcolo integrale sulla primtiva?
Perchè io avevo visto un caso simile con $int1/xdx$ che su tutti i testi scrivono come $ln|x|+c$ ma che a rigore sarebbe $ 1/x+c_1 se x>0$ e $-1/x+c_2 se x<0$
Questo caso è ancora diverso però, perchè 1/x no è definita in 0, invece la mia è definita su tutto R ma non riescoa trovare una primitiva continua su tutto il dominio dell'integranda, ma solo dei rami che io dovrei unire...Così no mi era mai capitata
Qualcuno potrebbe chiarimi col rigore matematico preciso tutte queste considerazioni confuse che io ho solo intuitivamente fatto?
Questo integralino mi esce dal calcolo di un lavoro lungo un percorso chiuso, vabeh, ma tralsciamo la storia della sua vita.
Disegnando quella funzione (io l'ho fatto con un paio di plotter numerici per essere perfettamente sicuro che non facessero casino e ho visto che fanno la stessa cosa) e si vede chiaramente che quell'integrale è 0: è una funzione periodica di periodo $2pi$ e il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse x(i suoi valori vanno da un po' più di 3 a un po' meno di -3), e dal grafico si vede bene come si hanno delel compensazioni, insomma in sostanza è un po' come fare $int_0^(2pi)cosxdx$. Questo era già prevedibile dall'inizio date particolari simmetrie del problema di partenza...ma vabeh.
Ora, calcolando l'integrale, prima per parti poi spezzando quello che viene in tre integrali si fa abbastanza bene, viene un conto tuttavia piuttosto lungo e noioso così al terzo di questi tre mi son rotto e ho schiaffato tutto dentro a un programma che calcola le primitive.
Questo è quello che l'amico dice:
$int -(ln(14+2costheta)(sentheta+costheta)d theta= -7theta + 8sqrt(3)arctg(1/2sqrt(3)tg(theta/2))-costheta+(costheta+7)ln(2costheta+14)-ln(2costheta+14)sentheta+sentheta+c$
O bella o bella. osserviamo che $-7theta + 8sqrt(3)arctg(1/2sqrt(3)tg(theta/2))-costheta+(costheta+7)ln(2costheta+14)-ln(2costheta+14)sentheta+sentheta|_0^(2pi)=-14pi!!!$
dove sta la fregatura?Dopo un po' mi accorgo dell'errore madornale: osservate il termine $8sqrt(3)arctg(1/2sqrt(3)tg(theta/2))$. Questo $->_(theta->pi^-+2kpi^-)4sqrt(3)/pi, $ e $->_(theta->pi^++2kpi^+)-4sqrt(3)/pi$... Quindi la primitiva ha un salto in questi punti, dove ovviamente non è definita.
Disegno anche la primitiva coi soliti programmini. I salti sono appunto dell'ordine delle decine di unità (e così si capisce il perchè di quel $-14pi$ ) ma si nota anche che la derivata destra e la derivata sinistra di questi salti sono uguali. Cioè io potrei prendere tutti queste biscette di cui la funzione è fatta e unirle a uno stesso livello, ottenendo una funzione che ha come grafico quello di un seno tanto per intenderci e con periodo $2pi$. Facendo questa operazione allora la differenza dei valori della primitiva assunti da due punti a distanza $2pi$ tra loro fa 0: ecco il risultato che ci si aspettava...
Ora, la domanda: come mai mi sono fatto fregare così?Perchè si riesce a trovare una primitiva con salti non definita su tutto il dominio dell'integranda ma in cui le derivate destre e sinistre dei salti sono sempre continue?Come si fa a non cascare in queste cose?Cosa bisogna guardare? Che dice il teorema fondamentale del calcolo integrale sulla primtiva?
Perchè io avevo visto un caso simile con $int1/xdx$ che su tutti i testi scrivono come $ln|x|+c$ ma che a rigore sarebbe $ 1/x+c_1 se x>0$ e $-1/x+c_2 se x<0$
Questo caso è ancora diverso però, perchè 1/x no è definita in 0, invece la mia è definita su tutto R ma non riescoa trovare una primitiva continua su tutto il dominio dell'integranda, ma solo dei rami che io dovrei unire...Così no mi era mai capitata
Qualcuno potrebbe chiarimi col rigore matematico preciso tutte queste considerazioni confuse che io ho solo intuitivamente fatto?
Risposte
stai integrando una funzione periodica( hai $ln(14+2cos(0))=ln(16)=ln(14+cos(2\pi))$ ) lungo il suo periodo...
...e quindi?
In pratica non so se sono stato chiaro nel post chilometrico, ma le spiegazioni che cerco riguardano il perchè e il come fare quando mi ritrovo una primitiva con dei salti che per renderla continua devo "spezzettare", e se le ipotesi del teorema di Torricelli-Barrow parlano di continuità dell'integranda, in modo insomam da non farsi fregare dai salti di questa...
Beh succede che il programma "numerico" non riesce a calcolarti bene la primitiva... Che scoperta!
Non è né la prima, né l'ultima volta che succede (ad esempio, ricordo che Derive disegna il grafico di $\root(3)(x)$ solo per $x>0$, mentre noi sappiamo che tale funzione è definita anche per $x<=0$).
La funzione che ti interessa è $F(theta):=\int_0^theta f(t)" d"t$ ed è continua per il teorema fondamentale del calcolo integrale; inoltre essa è periodica di periodo $2pi$ (perchè tale è l'integrando $f$) e si annulla in $0$: combinando queste due informazioni trovi subito che $F(2 pi)=0$, quindi...
La morale è duplice:
- pagine e pagine di conti (oppure un buon software di calcolo) non sempre risolvono un problema;
- il computer si fa fregare perchè non conosce bene la teoria: tu non fare lo stesso errore.
Non è né la prima, né l'ultima volta che succede (ad esempio, ricordo che Derive disegna il grafico di $\root(3)(x)$ solo per $x>0$, mentre noi sappiamo che tale funzione è definita anche per $x<=0$).
La funzione che ti interessa è $F(theta):=\int_0^theta f(t)" d"t$ ed è continua per il teorema fondamentale del calcolo integrale; inoltre essa è periodica di periodo $2pi$ (perchè tale è l'integrando $f$) e si annulla in $0$: combinando queste due informazioni trovi subito che $F(2 pi)=0$, quindi...
La morale è duplice:
- pagine e pagine di conti (oppure un buon software di calcolo) non sempre risolvono un problema;
- il computer si fa fregare perchè non conosce bene la teoria: tu non fare lo stesso errore.
Caro google82 innanzitutto grazie per avermi risposto.
Non ho capito bene però come sfruttare la periodicità dell'integranda: ad esempio $cosx+3$ è periodica perchè $cos(x+2kpi)+3=cosx+3$ per ogni k apperentente a Z ma $int_0^(x)(cost+3)dt=senx+3x$ che non è periodica perchè $f(x+2kpi)!=f(x)$...O anche $cos^2x$...
Non ho capito bene però come sfruttare la periodicità dell'integranda: ad esempio $cosx+3$ è periodica perchè $cos(x+2kpi)+3=cosx+3$ per ogni k apperentente a Z ma $int_0^(x)(cost+3)dt=senx+3x$ che non è periodica perchè $f(x+2kpi)!=f(x)$...O anche $cos^2x$...
Infatti non tutte le funzioni periodiche hanno integrale nullo.
Io sfrutterei la periodicita' per dire che l'integrale si puo' fare su un qualunque intervallo di lunghezza $2\pi$ per esempio su $[-\pi,\pi]$. In questo modo il pezzo con il seno sparisce
in quanto e' una funzione dispari. Rimane l'altro pezzo (che e'e' pari)
$2\int_{0}^\pi\ln(14+2cos(x))\cos(x)dx =(\star)$
e qui non vedo di meglio che integrare per parti
$(\star)=[2\ln(14+2\cos(x))\sin(x)]_{0}^{\pi}+4\int_{0}^{\pi}\frac{\sin(x)^2}{14+2cos(x)}=4\int_{0}^{\pi}\frac{\sin(x)^2}{14+2cos(x)}=(\star\star)$
perche' $\sin(0)=\sin(\pi)=0$. Rimane l'ultimo pezzo in cui ho l'impressione che il programma che citi faccia una sostituzione $t=\tan(x/2)$;
PERO' mi accorgo ora che nell 'integrale che e' rimasto l'integrando e' POSITIVO - dunque l'integrale non puo' essere nullo !!!
Sei sicuro che il lavoro da cui sei parito fosse veramente zero (cioe' che il campo fosse conservativo ?)
Non capisco come sia possibile quanto dici nel primo post (la funzione e' simmetrica rispetto all'asse $x$ - non mi pare ovvio...)
Forse sbaglio (ho fatto i conti in diretta), io pero' ricontrollerei le cose (ci ripenso un attimo anche io).
Io sfrutterei la periodicita' per dire che l'integrale si puo' fare su un qualunque intervallo di lunghezza $2\pi$ per esempio su $[-\pi,\pi]$. In questo modo il pezzo con il seno sparisce
in quanto e' una funzione dispari. Rimane l'altro pezzo (che e'e' pari)
$2\int_{0}^\pi\ln(14+2cos(x))\cos(x)dx =(\star)$
e qui non vedo di meglio che integrare per parti
$(\star)=[2\ln(14+2\cos(x))\sin(x)]_{0}^{\pi}+4\int_{0}^{\pi}\frac{\sin(x)^2}{14+2cos(x)}=4\int_{0}^{\pi}\frac{\sin(x)^2}{14+2cos(x)}=(\star\star)$
perche' $\sin(0)=\sin(\pi)=0$. Rimane l'ultimo pezzo in cui ho l'impressione che il programma che citi faccia una sostituzione $t=\tan(x/2)$;
PERO' mi accorgo ora che nell 'integrale che e' rimasto l'integrando e' POSITIVO - dunque l'integrale non puo' essere nullo !!!
Sei sicuro che il lavoro da cui sei parito fosse veramente zero (cioe' che il campo fosse conservativo ?)
Non capisco come sia possibile quanto dici nel primo post (la funzione e' simmetrica rispetto all'asse $x$ - non mi pare ovvio...)
Forse sbaglio (ho fatto i conti in diretta), io pero' ricontrollerei le cose (ci ripenso un attimo anche io).
Ma giusto per curiosità: quale era la traccia originale?
Ecco... Si vede che non è un buon periodo per me.
Ho fatto un errore banale, come giustamente mi hanno fatto notare un po' tutti.
L'integrale viene (stavolta controllato con Mathematica) $-2pi(7-4\sqrt(3))~ -0.45$, quindi non è affatto nullo; epperò il valore numerico è piccolo, cosicchè, anche disegnando il grafico bene, non si riesce a vedere che la parte di rettangoloide subordinato a $-ln(14 + 2cos(x))(sin(x) + cos(x))$ che è nel semipiano $x<0$ è più estesa di quella che è nel semipiano $x>0$.
Quindi o il campo non è conservativo oppure c'è qualche piccolo errore di calcolo nella parte non riportata.
P.S.: @antani: il mio nick non è google82.
Ho fatto un errore banale, come giustamente mi hanno fatto notare un po' tutti.
L'integrale viene (stavolta controllato con Mathematica) $-2pi(7-4\sqrt(3))~ -0.45$, quindi non è affatto nullo; epperò il valore numerico è piccolo, cosicchè, anche disegnando il grafico bene, non si riesce a vedere che la parte di rettangoloide subordinato a $-ln(14 + 2cos(x))(sin(x) + cos(x))$ che è nel semipiano $x<0$ è più estesa di quella che è nel semipiano $x>0$.
Quindi o il campo non è conservativo oppure c'è qualche piccolo errore di calcolo nella parte non riportata.
P.S.: @antani: il mio nick non è google82.
Volevo aggiungere un'altra cosa (suggeritami da un altro post). Il problema iniziale posto da antani e' indipendente dal fatto che quell'integrale fosse o meno nullo.
La questione mi pare legata alla risolubilita' di un integrale del tipo
$\int_0^\{2\pi}F(\sin(x),\cos(x))dx$
mediante la sostituzione $t=\tan(x/2)$, o meglio $x=2\arctan(t)$. Questa sostituzione non si puo' fare perche' l'intervallo $[\pi,2\pi]$ non e' nell'immagine di $2\arctan(t)$.
Quello che si puo' ottenere da tale sostituzione e' per esempio
$\int_{0}^{\pi}F(sin(x),cos(x))dx = \int_{0}^{+\infty}F(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2})\frac{2}{1+t^2}dt$. Per fare l'integrale su $[\pi,2\pi]$ conviene fare una translazione
$x\to x-2\pi$ e trasformarlo nell'integrale su $[-\pi,0]$ dopo di che l'integrale iniziale diventa
$\int_{-\pi}^{\pi}F(sin(x),cos(x))dx = \int_{-\infty}^{+\infty}F(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2})\frac{2}{1+t^2}dt$ (su $[-\pi,\pi]$ la sostituzione su puo' fare).
La questione mi pare legata alla risolubilita' di un integrale del tipo
$\int_0^\{2\pi}F(\sin(x),\cos(x))dx$
mediante la sostituzione $t=\tan(x/2)$, o meglio $x=2\arctan(t)$. Questa sostituzione non si puo' fare perche' l'intervallo $[\pi,2\pi]$ non e' nell'immagine di $2\arctan(t)$.
Quello che si puo' ottenere da tale sostituzione e' per esempio
$\int_{0}^{\pi}F(sin(x),cos(x))dx = \int_{0}^{+\infty}F(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2})\frac{2}{1+t^2}dt$. Per fare l'integrale su $[\pi,2\pi]$ conviene fare una translazione
$x\to x-2\pi$ e trasformarlo nell'integrale su $[-\pi,0]$ dopo di che l'integrale iniziale diventa
$\int_{-\pi}^{\pi}F(sin(x),cos(x))dx = \int_{-\infty}^{+\infty}F(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2})\frac{2}{1+t^2}dt$ (su $[-\pi,\pi]$ la sostituzione su puo' fare).
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