Doppio quesito facile
il giorno dell'esame si avvicina e i miei dubbi crescono 
se qualcuno per favore può darmi una mano con questi 2 esercizi:
1) verificare se la funzione $ g(z)=z|z| $ è analitica
2) calcolare il seguente integrale:
$ int (z^3-3z^2+4z-1-i)/((z-1)^(3)(z-i)) dz $
l'integrale deve essere fatto sulla circonferenza di centro l'origine e raggio 2.
C'è una sostituzione da fare per procedere?
Come al solito non mi interessano tanto i singoli passaggi quanto il ragionamento per procedere.
Grazie ancora una volta a chi mi è di aiuto
se qualcuno per favore può darmi una mano con questi 2 esercizi:
1) verificare se la funzione $ g(z)=z|z| $ è analitica
2) calcolare il seguente integrale:
$ int (z^3-3z^2+4z-1-i)/((z-1)^(3)(z-i)) dz $
l'integrale deve essere fatto sulla circonferenza di centro l'origine e raggio 2.
C'è una sostituzione da fare per procedere?
Come al solito non mi interessano tanto i singoli passaggi quanto il ragionamento per procedere.
Grazie ancora una volta a chi mi è di aiuto
Risposte
1) E' facile vedere che $f(z)=z|z|$ non soddisfa le Cauchy-Riemann, infatti $f(x+jy)=x*sqrt(x^2+y^2)+j*y*sqrt(x^2+y^2)=u+jv$.
La prima CR è $del_x u = del_y v$, nonchè $(2x^2 + y^2)/sqrt(x^2 + y^2)=(x^2 + 2y^2)/sqrt(x^2 + y^2)$, falso.
Del resto, scrivendo $z=rho e^(j theta)$, da cui $f(z)=rho^2 e^(j theta)$, la seconda CR in forma polare diventa $rho^2 del_theta theta=rho del_rho rho^2$, nonchè
$rho^2=2rho^2$, falso.
La prima CR è $del_x u = del_y v$, nonchè $(2x^2 + y^2)/sqrt(x^2 + y^2)=(x^2 + 2y^2)/sqrt(x^2 + y^2)$, falso.
Del resto, scrivendo $z=rho e^(j theta)$, da cui $f(z)=rho^2 e^(j theta)$, la seconda CR in forma polare diventa $rho^2 del_theta theta=rho del_rho rho^2$, nonchè
$rho^2=2rho^2$, falso.
Nella circonferenza di equazione $|z|=2$ la funzione $f(z)=(z^3 - 3z^2 + 4z - 1 - j)/((z - 1)^3(z - j))$ presenta
un polo di ordine $3$ in $z=1$ e un polo di ordine $1$ in $z=j$ (come è facile vedere dal denominatore).
Calcoliamo i residui. Vale $Res[(z^3 - 3z^2 + 4z - 1 - j)/((z - 1)^3(z - j)),1]=1/(2!) * [d/(dz)]^2 [(z-1)^3 (z^3 - 3z^2 + 4z - 1 - j)/((z - 1)^3(z - j))]_(z=1)=0$.
Il secondo residuo è più facile da calcolare, perchè il polo è di ordine $1$: $Res[(z^3 - 3z^2 + 4z - 1 - j)/((z - 1)^3(z - j)),j]=(j^3-3j^2+4j-1-j)/(d/(dz) [(z-1)^3(z-j)]_(z=j))=1$.
Dunque $oint_(|z|=2) (z^3 - 3z^2 + 4z - 1 - j)/((z - 1)^3(z - j)) dz =2pij$.
un polo di ordine $3$ in $z=1$ e un polo di ordine $1$ in $z=j$ (come è facile vedere dal denominatore).
Calcoliamo i residui. Vale $Res[(z^3 - 3z^2 + 4z - 1 - j)/((z - 1)^3(z - j)),1]=1/(2!) * [d/(dz)]^2 [(z-1)^3 (z^3 - 3z^2 + 4z - 1 - j)/((z - 1)^3(z - j))]_(z=1)=0$.
Il secondo residuo è più facile da calcolare, perchè il polo è di ordine $1$: $Res[(z^3 - 3z^2 + 4z - 1 - j)/((z - 1)^3(z - j)),j]=(j^3-3j^2+4j-1-j)/(d/(dz) [(z-1)^3(z-j)]_(z=j))=1$.
Dunque $oint_(|z|=2) (z^3 - 3z^2 + 4z - 1 - j)/((z - 1)^3(z - j)) dz =2pij$.
Allora intanto ti ringrazio per le risposte immediate ad entrambi i quesiti e ci aggiungo i complimenti per la tua preparazione ma soprattutto per la chiarezza (cosa che manca al mio prof di analisi).
Tornando agli esercizi:
1) Ero riuscito a verificare che la funzione non è analitica ma con un procedimento molto più lungo e complesso, non sapevo potesse essere così semplice.
Quindi per qualsiasi tipo di funzione mi basta verificare se soddisfa Cauchy-Riemann? O ci sono delle limitazioni?
2) Sull'integrale avevo solo sbagliato a calcolare il primo residuo perciò non mi trovavo col risultato del libro. Per un attimo ho pensato che si dovesse risolvere in un altro modo.
Grazie ancora
Tornando agli esercizi:
1) Ero riuscito a verificare che la funzione non è analitica ma con un procedimento molto più lungo e complesso, non sapevo potesse essere così semplice.
Quindi per qualsiasi tipo di funzione mi basta verificare se soddisfa Cauchy-Riemann? O ci sono delle limitazioni?
2) Sull'integrale avevo solo sbagliato a calcolare il primo residuo perciò non mi trovavo col risultato del libro. Per un attimo ho pensato che si dovesse risolvere in un altro modo.
Grazie ancora
Le CR forniscono una condizione necessaria ma non sufficiente perchè una funzione sia analitica.
Dunque se una funzione non soddisfa le CR sicuramente non è analitica.
Se poi la funzione soddisfa le CR e $f(x+jy)=u+jv$, per l'analiticità della funzione è necessario
anche che le derivate parziali di $u$ e $v$ siano continue.
Dunque se una funzione non soddisfa le CR sicuramente non è analitica.
Se poi la funzione soddisfa le CR e $f(x+jy)=u+jv$, per l'analiticità della funzione è necessario
anche che le derivate parziali di $u$ e $v$ siano continue.
Perfetto.
Grazie mille.
Ciao.
Grazie mille.
Ciao.
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