Dominio x^x

[sisko87]

Quel'è il dominio della funzione $ x^x $ e perchè?

[Mino_01]

Buon di
è definita per valori positivi per l' utilità che ha l' espressione
$ f(x)^g(x)=e^(g(x)*log(f(x)) $
dove $f(x)=g(x)=x$

Ma in generale l' espressione resta valida per valori x tali che $f(x)>0$ (per dare senso al logaritmo).

Cordiali saluti

[Plepp]

"porca matematica":Oppure potremmo anche dire che il dominio è solamente positivo (escludendo 0, ovviamente) perchè x^x è possibile scriverlo come log in base x di x^x?

No. Per definizione è
\[f(x)^{g(x)}:=\text{e}^{g(x)\,\ln f(x)} \tag{1}\]
da cui puoi trarre le conclusioni che già hai tratto (cioé che dev'essere $f(x)>0$).

Se non attraverso la $(1)$, come potresti dare un senso alla scrittura $f(x)^g(x)$, o anche a una semplice $\pi^{\sqrt{2}}$, dal momento che non si tratta di numeri razionali*?

Potrebbe sorgere spontanea la considerazione: "...però, se $n$ è un numero intero, $(-\pi)^n$ un suo significato ce l'ha!". E in effetti così è ma il significato della scrittura $(-\pi)^n$ è diverso da quello della scrittura $\pi^{\sqrt{2}}$, sebbene le due siano graficamente simili. La seconda, come si è detto, indica il numero reale $\exp(sqrt{2} \ln \pi)$, quindi tira in ballo la funzione esponenziale; la prima, invece, non mette in mezzo l'$"exp"$, e indica il numero
\[\underbrace{(-\pi)\cdot(-\pi)\cdot\, \cdots\,(-\pi)}_{n\ \text{volte}}\]
se $n>0$, mentre indica il numero
\[\underbrace{(-\pi)^{-1}\cdot(-\pi)^{-1}\cdot\, \cdots\,(-\pi)^{-1}}_{-n\ \text{volte}}\]
se $n<0$, ovvero indica la potenza $n$-esima** del numero reale $-\pi$, concetto, questo, che si definisce in maniera naturale anche al di fuori del contesto degli insiemi numerici (leggi: in un qualsiasi gruppo moltiplicativo, anello e quant'altro, cfr. per esempio qui).

Spero sia tutto chiaro
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[size=85]*con i numeri razionali, o ancora meglio con gli interi, è semplice dare un senso a robe come $(-3)^7$: si tratta di moltiplicare $7$ volte per se stesso il numero $-3$. Quando ci sono di mezzo i razionali, bisogna aver definito la radice $n$-esima di un numero, per dar un senso a $2^{3/2}$ o a $(-3)^{1/3}$, e già qui si comincia a fare qualche discriminazione sul segno della base (che dev'essere positiva quando l'indice di radice è un numero pari).

** per $n=0$ il significato di quella scrittura è arcinoto.
[/size]

[porca matematica]

Quindi siccome per molti valori inferiori di zero la radice non da soluzioni reali si da una base maggiore di zero al logaritmo giusto?

A proposito su un esercizio sul libro il $ loga(b) $ ha come dominio a>0 con a diverso da 1 per b>0, ciò è dovuto dal fatto che $log1(50)$ non ha soluzioni reali, ma non sarebbe stato più corretto come dominio [(a>0 con a diverso da 1 per b>0)+(a=1 per b=1)] ?