Dominio valore assoluto (risolto finalmente)
Giorno a tutti, sto studiando il dominio di questa funzione.
$sqrt(log_(\pi/6)|arcsen((2x^3-x)/2)|-1)$
Devo imporre
${(log_(\pi/6)|arcsen((2x^3-x)/2)|-1>=0),(|(arcsen(2x^3-x)/2)|>0), (-1<= (2x^3-x)/2 <=1):}$. Giusto?
Quando vado a studiare il logaritmo mi viene
$log_(\pi/6)|arcsen((2x^3-x)/2)|>1 -> |arcsen(2x^3-x)/2)|>=\pi/6$ o $<= \pi/6$ ?
Ora come me li studo i valori assoluti dell'arcosen? li devo mettere compresi tra -1,1 ?
$sqrt(log_(\pi/6)|arcsen((2x^3-x)/2)|-1)$
Devo imporre
${(log_(\pi/6)|arcsen((2x^3-x)/2)|-1>=0),(|(arcsen(2x^3-x)/2)|>0), (-1<= (2x^3-x)/2 <=1):}$. Giusto?
Quando vado a studiare il logaritmo mi viene
$log_(\pi/6)|arcsen((2x^3-x)/2)|>1 -> |arcsen(2x^3-x)/2)|>=\pi/6$ o $<= \pi/6$ ?
Ora come me li studo i valori assoluti dell'arcosen? li devo mettere compresi tra -1,1 ?
Risposte
No, non è così: ti stai complicando la vita.
Se avessimo avuto $-1<=cos(x)<=1$ la soluzione sarebbe stata $AA x in RR$
(perchè il coseno è una funzione compresa o uguale tra -1 e 1)
Banalmente, la soluzione di $-1
2) $cos(x)= -1 <=> x=pi+2kpi, k in ZZ$
Quindi la soluzione è (compattando le due precedenti in $kpi, k in ZZ$) $x!=kpi, k in ZZ$
Vado a risolvere $|sin(x)|>0$
In generale, $|f(x)|>0<=> f(x)!=0$
Quindi dobbiamo risolvere $sin(x)!=0$ . La soluzione è $x!=kpi, k in ZZ$
Per ultimo, $|cos(x)|>0<=> cos(x)!=0<=> x!= pi/2+kpi, k in ZZ$
C'è quindi $x!=kpi$ e $x!=pi/2+kpi$ Ciò può essere ulteriormente compattato in un'unica condizione: $x!=kpi/2,k in ZZ$
La soluzione della disequazione è pertanto $AA x in RR-{kpi/2,k in ZZ}$
Se avessimo avuto $-1<=cos(x)<=1$ la soluzione sarebbe stata $AA x in RR$
(perchè il coseno è una funzione compresa o uguale tra -1 e 1)
Banalmente, la soluzione di $-1
2) $cos(x)= -1 <=> x=pi+2kpi, k in ZZ$
Quindi la soluzione è (compattando le due precedenti in $kpi, k in ZZ$) $x!=kpi, k in ZZ$
Vado a risolvere $|sin(x)|>0$
In generale, $|f(x)|>0<=> f(x)!=0$
Quindi dobbiamo risolvere $sin(x)!=0$ . La soluzione è $x!=kpi, k in ZZ$
Per ultimo, $|cos(x)|>0<=> cos(x)!=0<=> x!= pi/2+kpi, k in ZZ$
C'è quindi $x!=kpi$ e $x!=pi/2+kpi$ Ciò può essere ulteriormente compattato in un'unica condizione: $x!=kpi/2,k in ZZ$
La soluzione della disequazione è pertanto $AA x in RR-{kpi/2,k in ZZ}$
Capito quindi riassumento se ho capito:
1)$ |F(x)|> n \Rightarrow F(x)<-n \cup F(x)>n$
2)$ |F(x)|< n \Rightarrow -n
Se mi trovo a studiare le funzioni trigonometriche e ho $|senx|<1 ,|cosx|<1$ sono per ogni x invece se $|senx|>1 $e$ |cosx|>1$ non esiste x
Penso sia tutto, mi sono tolto un po di dubbi sul valore assoluto... grazie
Edit: aggiustato la 2)
1)$ |F(x)|> n \Rightarrow F(x)<-n \cup F(x)>n$
2)$ |F(x)|< n \Rightarrow -n
Se mi trovo a studiare le funzioni trigonometriche e ho $|senx|<1 ,|cosx|<1$ sono per ogni x invece se $|senx|>1 $e$ |cosx|>1$ non esiste x
Penso sia tutto, mi sono tolto un po di dubbi sul valore assoluto... grazie
Edit: aggiustato la 2)
il punto 2) è $|F(x)| -n
Se hai $|sin(x)|<=1$ o $|cos(x)|<=1$ (con anche l'uguale) allora è $AAx in RR$
Se hai $|sin(x)|<1$ la soluzione è $AA x in RR$ tranne quei valori per cui $sin(x)=+-1$ (idem per il coseno)
Il resto è corretto
Se hai $|sin(x)|<=1$ o $|cos(x)|<=1$ (con anche l'uguale) allora è $AAx in RR$
Se hai $|sin(x)|<1$ la soluzione è $AA x in RR$ tranne quei valori per cui $sin(x)=+-1$ (idem per il coseno)
Il resto è corretto
Grazie sei stato molto paziente con me ...Ora non penso di dimenticarmi più qualcosa sul valore assoluto.
...Ora non penso di dimenticarmi più qualcosa sul valore assoluto.
Te lo auguro 
No scherzo
A buon rendere
No scherzo
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