Dominio per integrali doppi
Ciao a tutti, io non riesco a comprendere la risposta ad un quesito teorico.
Sia $\Omega = {(x,y) \in RR : 1<=x^2+y^2<=4, x>= 0, -\sqrt(3)x<=y<=\sqrt(3)x} $ Allora
a) $\Omega$ è y-semplice
b) $\Omega$ è x-semplice
c) $\Omega$ è sia x-semplice che y-semplice
d) $\Omega$ non è compatto
Il dominio mi è chiaro, ciò la corona circolare presa nel semispazio $x>=0$ e compresa tra due rette passanti per l'origine. Ma non mi è chiaro perchè da la risposta b.
Io direi che non è né x-semplice né y-semplice.
Sia $\Omega = {(x,y) \in RR : 1<=x^2+y^2<=4, x>= 0, -\sqrt(3)x<=y<=\sqrt(3)x} $ Allora
a) $\Omega$ è y-semplice
b) $\Omega$ è x-semplice
c) $\Omega$ è sia x-semplice che y-semplice
d) $\Omega$ non è compatto
Il dominio mi è chiaro, ciò la corona circolare presa nel semispazio $x>=0$ e compresa tra due rette passanti per l'origine. Ma non mi è chiaro perchè da la risposta b.
Io direi che non è né x-semplice né y-semplice.
Risposte
Sono d'accordo con te.
Ciao Albi,
Perché dici che non è $x$-semplice?
Il dominio $\Omega$ è perfettamente simmetrico rispetto all'asse $x$ (per l'integrale opzionerei senz'altro le coordinate polari, poi certo bisogna vedere anche la funzione integranda...
) e la retta verticale $x = 1$ individua i tre punti $A(1,0) $ (estremo del diametro giacente sull'asse $x$ della circonferenza $x^2 + y^2 = 1$), $B(1, \sqrt3) $ ed il suo simmetrico (rispetto all'asse $x$) $B'(1, - \sqrt3) $, che sono proprio gli estremi della circonferenza esterna $x^2 + y^2 = 4 $
Perché dici che non è $x$-semplice?
Il dominio $\Omega$ è perfettamente simmetrico rispetto all'asse $x$ (per l'integrale opzionerei senz'altro le coordinate polari, poi certo bisogna vedere anche la funzione integranda...
) e la retta verticale $x = 1$ individua i tre punti $A(1,0) $ (estremo del diametro giacente sull'asse $x$ della circonferenza $x^2 + y^2 = 1$), $B(1, \sqrt3) $ ed il suo simmetrico (rispetto all'asse $x$) $B'(1, - \sqrt3) $, che sono proprio gli estremi della circonferenza esterna $x^2 + y^2 = 4 $
@pilloeffe: La definizione di insieme semplice/normale vuole che l'insieme si scriva come $\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \text{t.c.} \ a \le x \le b, f(x) \le y \le g(x)\}$ o come $\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \text{t.c.} \ c \le y \le d, \varphi(y) \le x \le \psi(y)\}$ con $a,b,c,d \in\mathbb{R}$ fissati e $f,g,\varphi,\psi$ funzioni continue. Bisogna necessariamente spezzarlo in un'unione di più di un insieme semplice, che non è un insieme semplice. Quindi, per come è dato $\Omega$, non dovrebbe essere semplice/normale rispetto ad alcun asse, no?
Ah va bene, se $\Omega$ non si può spezzare è proprio come dici, però temo che possa dipendere dalla definizione che gli è stata data. Se consideriamo per comodità il solo semipiano $y \ge 0 $ si può scrivere:
$\Omega_{y \ge 0} := \Omega_1 \cup \Omega_2 $
ove
$\Omega_1 := {(x,y) \in \RR_{\ge 0}^2 : \sqrt{1 - x^2} \le y \le \sqrt3 x, 1/2 \le x \le 1} $
$\Omega_2 := {(x,y) \in \RR_{\ge 0}^2 : 0 \le y \le \sqrt{4 - x^2}, 1 \le x \le 2} $
che è una cosa che nella risoluzione degli integrali doppi si usa spessissimo.
$\Omega_{y \ge 0} := \Omega_1 \cup \Omega_2 $
ove
$\Omega_1 := {(x,y) \in \RR_{\ge 0}^2 : \sqrt{1 - x^2} \le y \le \sqrt3 x, 1/2 \le x \le 1} $
$\Omega_2 := {(x,y) \in \RR_{\ge 0}^2 : 0 \le y \le \sqrt{4 - x^2}, 1 \le x \le 2} $
che è una cosa che nella risoluzione degli integrali doppi si usa spessissimo.
Sì, sono d'accordo, infatti in questo contesto scrivo sempre "semplice/normale" perché alcuni testi li invertono. Non c'è una nomenclatura unanime. Potrebbe esserci anche qualche autore che, con semplice/normale, intende unione finita di semplici/normali. Se così fosse, hai ragione tu! Aspettiamo cosa ci dice Albi.
@Albi: Cosa dice il tuo libro di testo/il tuo docente a riguardo? Come ha definito gli insiemi semplici?
@Albi: Cosa dice il tuo libro di testo/il tuo docente a riguardo? Come ha definito gli insiemi semplici?
In realtà la definizione che mi è stata è quella citata da Mephlip.
Se considero poi l'unione finita di insiemi semplici, allora la definizione che mi è stata data è quella di regolare.
Invece come mi suggerisce pilloeffe, quella potrebbe essere un unione di insiemi y-semplici. Ma comunque insieme regolare, secondo le definizioni fornita dal mio professore
Se considero poi l'unione finita di insiemi semplici, allora la definizione che mi è stata data è quella di regolare.
Invece come mi suggerisce pilloeffe, quella potrebbe essere un unione di insiemi y-semplici. Ma comunque insieme regolare, secondo le definizioni fornita dal mio professore
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