Dominio normale integrale doppio

[maryenn1]

Ciao a tutti ,devo calcolare un integrale doppio in questo dominio:
$ D = {(x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 ≤ 4, y ≤ x}$
come posso scrivere gli estremi di integrazione?

[ostrogoto1]

Se stai pensando alle coordinate polari diventa semplice: $ 0

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[maryenn1]

L'integrale che devo risolvere è :
$∫∫_D y^3xdxdy $ dove D è il dominio che ho scritto in precedenza. Ora utilizzando le coordinate polari ottengo:
$∫_(-3/4pi)^(pi/4)∫_0^2 p^5 sin^3theta costheta dpd theta$
L'unico modo è utilizzare le coordinate polari?

[ostrogoto1]

In coordinale polari si ha un integrale estremamente facile da risolvere in quanto:
$ int_(-3/4pi)^(pi/4)int_0^2 rho^5 sin^3theta costheta drhod\theta=int_(-3/4pi)^(pi/4)sin^3thetacosthetad\thetaint_0^2 rho^5drho $

il dominio sembra fatto apposta per essere scritto in coordinate polari: e' la meta' del cerchio che sta sotto la retta y=x e questo unito al fatto della facilita' dell'integrazione mi porta a concludere che l'integrale sembra suggerire in maniera naturale il passaggio a coordinate polari. Penso che si possa provare in altra maniera ma a prezzo di complicarsi parecchio la vita...