Dominio normale
{(x,y)app. R^2 : x>=0, y<=sqrt(3)x,y<=1/x,y>=x} perchè questo dominio è normale rispetto all'asse y?
Risposte
Il tuo dominio è la zona indicata con "D"
quei segmenti verticali te li ho disegnati io,per definizione un dominio è normale rispetto a y ("y-semplice") quando tutti i segmenti tracciabili da parte a parte del bordo del dominio stanno all'INTERNO dell'insieme,analoga è la definizione per "x-semplice"
Nel tuo caso si vede ad occhio che si tratta di un dominio y-semplice E x-semplice,ti è possibile scrivere il tuo integrale doppio scambiando le variabili di integrazione in modo da poterti semplificare i calcoli (quando possibile!)
Ciao,
Marvin
quindi mi consigli in caso di difficoltà di disegnare il dominio, ma come me ne potevo accorgere senza disegnarlo?
Il disegno sempre e comunque semplifica le cose!
credo,anzi,sono sicuro che ci sia un modo per valutarlo anche analiticamente ma ora non ricordo...dovrei guardare
cmq io in genere ho sempre trovato domini sia x che y semplici..dipende poi da che corso stai facendo..
in Analisi II non ho mai trovato domini troppo "stronzi"...
credo,anzi,sono sicuro che ci sia un modo per valutarlo anche analiticamente ma ora non ricordo...dovrei guardare
cmq io in genere ho sempre trovato domini sia x che y semplici..dipende poi da che corso stai facendo..
in Analisi II non ho mai trovato domini troppo "stronzi"...
Allora..ho controllato sul mio libro di testo.
E' possibile accorgersi se un dominio è normale in x o y controllando com'è impostato un integrale doppio per il calcolo del volume del solido avente come base il dominio (in base agli estremi di integrazione).
Non è possibile invece (almeno per quando mi risulta) accorgersene senza avere un'idea di com'è fatto il dominio...certo che se hai masticato funzioni elementari e se hai una fervida immaginazione ti accorgi subito di come potrebbe essere la forma..
Io personalmente ti consiglio comunque di andare con il grafico,onde evitare casini..tanto si tratta di disequazioni abbastanza tranquille in genere (in genere eh...) ci metti poco e poi se sicuro.
(te lo dice uno che di errori nei compiti ne tralascia veramente tanti..sob)
Se qualcuno sa come fare senza passare per il grafico che si faccia avanti
Ciao!
Marvin
E' possibile accorgersi se un dominio è normale in x o y controllando com'è impostato un integrale doppio per il calcolo del volume del solido avente come base il dominio (in base agli estremi di integrazione).
Non è possibile invece (almeno per quando mi risulta) accorgersene senza avere un'idea di com'è fatto il dominio...certo che se hai masticato funzioni elementari e se hai una fervida immaginazione ti accorgi subito di come potrebbe essere la forma..
Io personalmente ti consiglio comunque di andare con il grafico,onde evitare casini..tanto si tratta di disequazioni abbastanza tranquille in genere (in genere eh...) ci metti poco e poi se sicuro.
(te lo dice uno che di errori nei compiti ne tralascia veramente tanti..sob)
Se qualcuno sa come fare senza passare per il grafico che si faccia avanti
Ciao!
Marvin
questo era il dominio di un integrale proposto nel sito di Lussardi, l'integrale è I(xy)dxdy, nello svolgimento si integrava prima in [0,(1/3)^(1/4)] e poi in [x,sqrt3x], non capisco come sono stati trovati gli estremi
Allora:
-da zero fino alla riga rossa integri con tenendo "sopra"la retta con coeff sqrt(3) e "sotto"la bisettrice
-dalla linea rossa fino a quella gialla integri con tenendo "sopra" l'iperbole 1/x e "sotto" la bisettrice
-il volume totale è dato dalla somma di questi integrali iterati.
(ricordati che in questi casi si tratta di AREE CON SEGNO)
-quel punto che non ti torna è ottenuto mettendo a sistema la retta con coeff sqrt(3) e l'iperbole
devi stare attento a da "dove a dove"integrare "sopra e sotto cosa" ma vedrai che con un po' ci esercizio ci fai subito l'occhio.
oltre alla difficoltà di calcolo in questi esercizi non c'è nulla di particolarmente difficile.
Se non ti torna qualcosa sono a tua disposizione!
Marvin
quote:
Originally posted by Marvin
per definizione un dominio è normale rispetto a y ("y-semplice") quando tutti i segmenti tracciabili da parte a parte del bordo del dominio stanno all'INTERNO dell'insieme,analoga è la definizione
nel mio testo c'è scritto date 2 funzioni f,g continue con f<=g l'insieme {(x,y): a<=x<=b, f<=y<=g} si dice normale rispetto all'asse y, è la stessa cosa?
quote:
segmenti tracciabili da parte a parte del bordo del dominio stanno all'INTERNO dell'insieme
nel caso precedente i segmenti devono essere paralleli a y per essere il dominio normale rispetto a y?
1)si,la definizione che ti ho dato io è puramente grafica,quella del tuo libro (hai il pagani salsa per caso??) dice che se hai un dominio in y sarà la tua parte in y a essere integrata tra 2 FUNZIONI (f e g nel tuo caso) e la parte in x tra due NUMERI.
Analogamente,se il tuo dominio normale in x,sarà la tua parte in x a essere integrata tra due FUNZIONI e la tua parte in y tra due NUMERI.
La definizione del libro e utile a riconoscere un dominio normale dati gli estremi di un integrale volumetrico,è facile riconoscere la tipologia del dominio dato un dominio facile,se il dominio inizia a essere un attimo più "articolato" (vedi l'es sopra) la risoluzione grafica risulta essere veloce e sicura rispetto a quella analitica
2)esattamente,conta che è sempre una definizione grafica e spartana..se in un compito ti chiede la definizione di un dominio normale in x o y piazzagli quella del libro..il metodo grafico che ti ho suggerito serve solo per farti capire come riconoscerlo senza confonderti.
Marvin
Analogamente,se il tuo dominio normale in x,sarà la tua parte in x a essere integrata tra due FUNZIONI e la tua parte in y tra due NUMERI.
La definizione del libro e utile a riconoscere un dominio normale dati gli estremi di un integrale volumetrico,è facile riconoscere la tipologia del dominio dato un dominio facile,se il dominio inizia a essere un attimo più "articolato" (vedi l'es sopra) la risoluzione grafica risulta essere veloce e sicura rispetto a quella analitica
2)esattamente,conta che è sempre una definizione grafica e spartana..se in un compito ti chiede la definizione di un dominio normale in x o y piazzagli quella del libro..il metodo grafico che ti ho suggerito serve solo per farti capire come riconoscerlo senza confonderti.
Marvin
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