Dominio, lavoro di un campo vettoriale
Ciao a tutti, avrei bisogno di qualche dritta riguardo questo esercizio:
dato il campo vettoriale: $ F=((9x)/sqrt(9x^2+4y^2)-y/x^2, (4y)/sqrt(9x^2+4y^2)-(2xy-1)/x) $
1) determinare l'insieme di definizione e stabilire se è connesso e/o semplicemente connesso
2) stabilire se F è irrotazionale
3) stabilire se F è conservativo e in caso affermativo calcolare il potenziale
4)parametrizzare la curva $ gamma $ d'equazione $ x^2-6x+y^2+5=0 $
5)determinare il lavoro di F lungo l'arco $ gamma^+ $ di $ gamma $ che congiunge i punti A=(1,0) e B=(3,2) in direzione positiva
allora io ho proceduto così:
per quanto riguarda il primo punto, l'insieme di definizione è $ AA x,y!= 0 $. Il primo dubbio sorge qui: il dominio è connesso giusto? perchè, in termini rozzi, è tutto un pezzo tranne lo zero. Non è semplicemente connesso perchè in zero c'è un "buco". Un altro dubbio a riguardo, se è semplicemente connesso, questo implica che è connesso?
per il secondo punto non ci sono problemi, il campo è irrotazionale;
per il terzo, sapendo che il dominio non è semplicemente connesso e che il campo è irrotazionale, il teorema secondo il quale "se un campo è irrotazionale e il dominio è semplicemente connesso, allora il campo è conservativo" non è valido, per cui il campo non è conservativo
per il quarto e il quinto punto ho problemi seri, in quanto ho cercato su diversi libri e sulla rete ma non ci ho capito molto.
spero che mi possiate aiutare
grazie in anticipo!
dato il campo vettoriale: $ F=((9x)/sqrt(9x^2+4y^2)-y/x^2, (4y)/sqrt(9x^2+4y^2)-(2xy-1)/x) $
1) determinare l'insieme di definizione e stabilire se è connesso e/o semplicemente connesso
2) stabilire se F è irrotazionale
3) stabilire se F è conservativo e in caso affermativo calcolare il potenziale
4)parametrizzare la curva $ gamma $ d'equazione $ x^2-6x+y^2+5=0 $
5)determinare il lavoro di F lungo l'arco $ gamma^+ $ di $ gamma $ che congiunge i punti A=(1,0) e B=(3,2) in direzione positiva
allora io ho proceduto così:
per quanto riguarda il primo punto, l'insieme di definizione è $ AA x,y!= 0 $. Il primo dubbio sorge qui: il dominio è connesso giusto? perchè, in termini rozzi, è tutto un pezzo tranne lo zero. Non è semplicemente connesso perchè in zero c'è un "buco". Un altro dubbio a riguardo, se è semplicemente connesso, questo implica che è connesso?
per il secondo punto non ci sono problemi, il campo è irrotazionale;
per il terzo, sapendo che il dominio non è semplicemente connesso e che il campo è irrotazionale, il teorema secondo il quale "se un campo è irrotazionale e il dominio è semplicemente connesso, allora il campo è conservativo" non è valido, per cui il campo non è conservativo
per il quarto e il quinto punto ho problemi seri, in quanto ho cercato su diversi libri e sulla rete ma non ci ho capito molto.
spero che mi possiate aiutare
grazie in anticipo!
Risposte
Attenzione a una cosa: se il dominio non è semplicemente connesso non puoi applicare il teorema, ma non significa che il campo non sia conservativo (in un esame avevo perso punti per questa cosa): devi provare a vedere se esiste o meno un potenziale definito su tutto il dominio.
Gli altri punti dipendono da quello che concludi nel terzo
Gli altri punti dipendono da quello che concludi nel terzo
"walter89":
Attenzione a una cosa: se il dominio non è semplicemente connesso non puoi applicare il teorema, ma non significa che il campo non sia conservativo (in un esame avevo perso punti per questa cosa): devi provare a vedere se esiste o meno un potenziale definito su tutto il dominio.
Gli altri punti dipendono da quello che concludi nel terzo
Aaaaah ecco! grazie per l'accorgimento. Comunque ho verificato e il potenziale non esiste quindi il campo non è conservativo. come procedo?
grazie ancora
quella curva è una circonferenza e se provi a disegnarla ti accorgi che non racchiude l'origine (cioè il "buco" del dominio), quindi devi trovare un potenziale definito nel semipiano con $x>0$ (che è semplicemente connesso) e utilizzarlo per calcolare il lavoro, oppure puoi fare direttamente il calcolo con un integrale di linea
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo