Dominio integrale multiplo.

[Meetmat]

In un esercizio fatto a lezione viene dato da calcolare un integrale triplo su un dominio $ C $.
$ C={(x,y,z)inRR^3|0<=z<=1+x^2+y^2 , x+y>=-2} $.

Nella risoluzione il professore dice che $ z in [0,1+x^2+y^2] $ e poi guarda dove variano $ (x,y) $. Non riesco a capire quest'ultimo fatto, ovvero come variano $ (x,y) $ in questo insieme ?.

Probabilmente sbaglio approccio perchè provo sempre a immaginarmi queste disequazioni nella mia testa, in questo caso la prima condizione è che z sta fra 0 e il paraboloide di vertice $ (0,0,1) $ e l'altra direi che riguarda un piano ma non riesco a vederla molto bene . Ora, vi chiedo se questo modo di fare è possibile anche in tre variabili o se perlomeno esiste un programma che possa far vedere cose di questo genere.

Grazie.

[Gi81]

$0<=z<=1+x^2+y^2$ non ci dà alcuna limitazione per quanto riguarda $x$ e $y$. Dunque l'unica limitazione è $x+y>= -2$.
Ciò significa che puoi prendere $ x in RR$ e $y in [-2-x, +oo)$
oppure
$y in RR$ e $x in [-2-y, +oo)$

[Meetmat]

Grazie. Negli appunti (non so se per errore mio o del professore) diceva anche che $ { ( O/" " "altrimenti" ),( z in [0,1+x^2+y^2] " "se" " (x+y>=-2 " e" " " x^2+y^2<=1) ):} $.

Anche a me non torna la seconda condizione, quindi è sicuramente sbagliata?

In ogni caso facendo come mi hai detto, ad esempio $ y in [-2-x,+ infty) $, dove varia la $ x $ ?

Grazie ancora.