Dominio integrale doppio

[antonio.ruta.184]

Ciao a tutti, scrivo su questo forum per avere una conferma. Ho un integrale doppio e mi viene dato un dominio
$D=\{ x<= y <= 2x, 1 <= x+y <= 2\}$. Dunque disegnando il grafico ottengo 4 rette. Dunque la $y$ è compresa tra $x$ e $2x$, mentre la $x$ è compresa tra 0,3 quindi $3/10$ e $1$. Vi trovate oppure ho sbagliato qualcosa?

[gugo82]

Non credo.

Le quattro rette delimitano il trapezio in figura:
[asvg]xmin=0; xmax=2; ymin=0; ymax=2;
axes("","");
fill="orange"; path([[0.333,0.666],[0.666,1.333],[1,1],[0.5,0.5],[0.333,0.666]]);
plot("x",-1,3); plot("2*x",-1,3); plot("1-x",-1,3); plot("2-x",-1,3);[/asvg]
e vedo difficile descrivere tale trapezio solo con due disuguaglianze riespetto ad $y$ ed alla $x$. Infatti, le quattro limitazioni che indichi:

"antor":[…] la $ y $ è compresa tra $ x $ e $ 2x $, mentre la $ x $ è compresa tra 0,3 quindi $ 3/10 $ e $ 1 $.

individuano il trapezio:
[asvg]xmin=0; xmax=2; ymin=0; ymax=2;
axes("","");
fill="yellow"; path([[0.3,0.3],[0.3,0.6],[1,2],[1,1],[0.3,0.3]]);
plot("x",-1,3); plot("2*x",-1,3); line([0.3,-1],[0.3,3]); line([1,-1],[1,3]);[/asvg]
ben diverso dal precedente.

[antonio.ruta.184]

Quindi come potrei fare? Dividendo il mio dominio non normale in due domini? Non riesco a pensare ad una possibile soluzione

[pilloeffe]

Ciao antor,

"antor":Quindi come potrei fare?

E' abbastanza un classico: usando la trasformazione $u = y/x $ e $v = x + y $

[gugo82]

"pilloeffe":Ciao antor,
[quote="antor"]Quindi come potrei fare?

E' abbastanza un classico: usando la trasformazione $u = y/x $ e $v = x + y $[/quote]
In generale, l'utilità di un cambiamento di variabili dipende non solo dal dominio, ma anche dalla funzione integranda.

Quindi aspetterei che antor proponga il testo completo dell'esercizio, prima di avanzare ipotesi.

[pilloeffe]

"gugo82":In generale, l'utilità di un cambiamento di variabili dipende non solo dal dominio, ma anche dalla funzione integranda.

Giusto. Diciamo che, come in altre occasioni, ho fatto uso delle mie doti di veggenza, sulle quali però sono pronto a scommettere...
Mi auguro anch'io che antor proponga il testo completo dell'esercizio, anche perché sono curioso di sapere se ho visto giusto o se dovrò chiedere venia...

[antonio.ruta.184]

L'integrale doppio è il seguente f(x,y) = 1/x+y dxdy

[pilloeffe]

Se intendi

$\int\int_D 1/(x + y) \text{d}x \text{d}y $

ove $D = {(x, y) \in \RR^2 : x <= y <= 2x, 1 <= x+y <= 2} $, allora ho indovinato e per risolverlo puoi usare la trasformazione che ti ho già suggerito, sicché diventa $D' = {(u, v) \in \RR^2 : 1 <= u <= 2, 1 <= v <= 2} $ e la funzione integranda semplicemente $1/v $, senza dimenticarti lo jacobiano della trasformazione...

[gugo82]

"pilloeffe":[quote="gugo82"]In generale, l'utilità di un cambiamento di variabili dipende non solo dal dominio, ma anche dalla funzione integranda.

Giusto. Diciamo che, come in altre occasioni, ho fatto uso delle mie doti di veggenza, sulle quali però sono pronto a scommettere... [/quote]
Volendola dire in musica:

Nun c'è bisogno 'a zingara
P'addivinà pilloé

Dopotutto, integrali da libro (o da prova d'esame) sono.

[pilloeffe]

"gugo82":Nun c'è bisogno 'a zingara
P'addivinà pilloé

Lo conosci anche tu il detto! Io conosco di più la "versione pugliese" perché mia moglie è di quelle parti, che tradotto in italiano (il dialetto pugliese non lo conosco anche se quando non lo parlano troppo stretto un po' lo capisco... ) recita: "Non ci vuole la zingara per indovinare la fortuna".
Per cui siamo lì...

[antonio.ruta.184]

Perfetto, ho capito come fare e vi ringrazio. Ho però un altro dubbio. Ho un altro integrale doppio e il dominio è in questo caso 1

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[Mephlip]

Prova a porre $u=xy$ e $v=\frac{y}{x}$.

[antonio.ruta.184]

Sisi, su questo ci sono. Poi però come fa a dire che v è compresa tra 1 e 2? Potete scrivermi i calcoli da fare, perché non riesco ad arrivarci.

[pilloeffe]

Beh, se $u = xy $ e $1 < xy < 2 $...
Per $v = y/x$ semplicemente ha diviso per $x$ la relazione $x < y < 2x $, ottenendo $ 1 < y/x < 2 $, cioè proprio $1 < v < 2 $