Dominio integrale doppio
Salve,
non riesco a determinare un dominio in questo esercizio.
Ho una circonferenza di raggio 4 e centro nell'origine di due assi cartesiani, ho la retta $y=(x/2)$ che "taglia" la circonferenza e devo determinare l'ntegrale $I=int (x/(1+sqrt(x^2+y^2))))dydx$. Devo determinare la parte che sta sopra le retta.
Quello che ho tentato di fare è passare alle coordinate polari con questo dominio
$D=(-4<=r<=4 ; pi<= phi <= 0 )$ ma non credo sia giusto... inoltre verrebbe l'integrale $int_(pi)^(0) int_(-4)^(4) ((r^2cosphi)/(1+sqrt(r^2) )dr dphi$ che non riesco a risolvere...
Qualcuno ha idea di come poter impostare correttamente l'esercizio?
non riesco a determinare un dominio in questo esercizio.
Ho una circonferenza di raggio 4 e centro nell'origine di due assi cartesiani, ho la retta $y=(x/2)$ che "taglia" la circonferenza e devo determinare l'ntegrale $I=int (x/(1+sqrt(x^2+y^2))))dydx$. Devo determinare la parte che sta sopra le retta.
Quello che ho tentato di fare è passare alle coordinate polari con questo dominio
$D=(-4<=r<=4 ; pi<= phi <= 0 )$ ma non credo sia giusto... inoltre verrebbe l'integrale $int_(pi)^(0) int_(-4)^(4) ((r^2cosphi)/(1+sqrt(r^2) )dr dphi$ che non riesco a risolvere...
Qualcuno ha idea di come poter impostare correttamente l'esercizio?
Risposte
Ciao! Beh direi che hai un problemino con le coordinate polari.
Ripassa un po' di teoria prima di provare a fare gli esercizi, è un consiglio spassionato.
Ti do qualche aiutino: con le coordinate polari vai a coprire una certa regione associando ad ogni suo punto una coppia $(r,\phi)$ (invece che le solite $x$ e $y$). Fissiamo un punto del piano e vediamo chi sono $r$ e $\phi$.
La coordinata $r$ esprime una distanza (la distanza del punto dall'origine) e, in quanto tale, deve esser positiva (ora riguarda tu che hai scritto). La coordinata $\phi$ denota invece l'angolo che la semiretta congiungente il punto fissato con l'origine forma con il semiasse delle ascisse positive.
Ora, arricchendo con quanto scritto sul tuo libro di teoria, dovresti trovare più semplice la riscrittura in coordinate polari del tuo dominio (si tratta di capire come far variare $r$ e $\phi$ in modo da coprirlo tutto).
Ripassa un po' di teoria prima di provare a fare gli esercizi, è un consiglio spassionato.
Ti do qualche aiutino: con le coordinate polari vai a coprire una certa regione associando ad ogni suo punto una coppia $(r,\phi)$ (invece che le solite $x$ e $y$). Fissiamo un punto del piano e vediamo chi sono $r$ e $\phi$.
La coordinata $r$ esprime una distanza (la distanza del punto dall'origine) e, in quanto tale, deve esser positiva (ora riguarda tu che hai scritto). La coordinata $\phi$ denota invece l'angolo che la semiretta congiungente il punto fissato con l'origine forma con il semiasse delle ascisse positive.
Ora, arricchendo con quanto scritto sul tuo libro di teoria, dovresti trovare più semplice la riscrittura in coordinate polari del tuo dominio (si tratta di capire come far variare $r$ e $\phi$ in modo da coprirlo tutto).
Grazie, gentilissimo!!!
Potresti mostrarmi come fare in questo caso? Perchè sto leggendo la teoria sul libro e anche su internet, ma faccio fatica a capire come si applica... se riesci a mostrarmi come posso fare in questo caso mi darebbe una mano come "guida" mentre studio la teoria (almeno avrei un esercizio svolto da usare come confronto)... grazie ancora per la risposta!
Potresti mostrarmi come fare in questo caso? Perchè sto leggendo la teoria sul libro e anche su internet, ma faccio fatica a capire come si applica... se riesci a mostrarmi come posso fare in questo caso mi darebbe una mano come "guida" mentre studio la teoria (almeno avrei un esercizio svolto da usare come confronto)... grazie ancora per la risposta!
la retta $y=x/2$ forma col semiasse positivo delle $x$ l'angolo $alpha$ tale che $tgalpha =1/2$ ;quindi $alpha=arctg1/2$
si ha $rho in [0,4];theta in[arctg1/2,arctg1/2+pi]$
l'integrale lo puoi scrivere in questa forma $ int_(0)^(4) rho^2/(1+rho) drhoint_(arctg1/2)^(arctg1/2+pi) costhetad theta $
si ha $rho in [0,4];theta in[arctg1/2,arctg1/2+pi]$
l'integrale lo puoi scrivere in questa forma $ int_(0)^(4) rho^2/(1+rho) drhoint_(arctg1/2)^(arctg1/2+pi) costhetad theta $
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