Dominio integrale doppio
L'esercizio chiede di calcolare l'integrale:
$int int_E (2x+3y^2)dxdy$ sull'intervallo $E:{(x,y)\inRR\^2 : 1<= x^2+y^2/4<=9,y>= 0,y>=x}$
Disegnando $E$ mi vengono fuori due ellissi con l'asse lungo sull'asse y, con le seguenti proprietà:
$x^2+y^2/4=1$ con fuochi in $A=(+-1,0)$ e $B=(0,+-2)$
$x^2+y^2/4=9$ con fuochi in $A=(+-3,0)$ e $B=(0,+-6)$
che unite alle proprietà $y>= 0,y<=x$ mi salta fuori come area utile solo quella superiore all'asse x e superiore all'asse a 45° rispetto all'asse x positivo... Posto $x=3\rho cos\theta,y=6\rhosen\theta$
Quindi io tirerei fuori come intervalli $1/3<=\rho^2<=1,\pi/4<=\theta<=\pi$
L'esempio però ritorna l'intervallo $1/3<=\rho<=1,arctan (1/2) <=\theta<=\pi$
Forse ho sbagliato qualcosa???
$int int_E (2x+3y^2)dxdy$ sull'intervallo $E:{(x,y)\inRR\^2 : 1<= x^2+y^2/4<=9,y>= 0,y>=x}$
Disegnando $E$ mi vengono fuori due ellissi con l'asse lungo sull'asse y, con le seguenti proprietà:
$x^2+y^2/4=1$ con fuochi in $A=(+-1,0)$ e $B=(0,+-2)$
$x^2+y^2/4=9$ con fuochi in $A=(+-3,0)$ e $B=(0,+-6)$
che unite alle proprietà $y>= 0,y<=x$ mi salta fuori come area utile solo quella superiore all'asse x e superiore all'asse a 45° rispetto all'asse x positivo... Posto $x=3\rho cos\theta,y=6\rhosen\theta$
Quindi io tirerei fuori come intervalli $1/3<=\rho^2<=1,\pi/4<=\theta<=\pi$
L'esempio però ritorna l'intervallo $1/3<=\rho<=1,arctan (1/2) <=\theta<=\pi$
Forse ho sbagliato qualcosa???
Risposte
Fai attenzione a quello che dici...ad esempio: che significa con fuochi in $A,B$? l'ellisse non ha quattro fuochi...e poi quelli non sono i fuochi.
Io dal disegno avrei imposto come condizioni $1<=\rho<=3 , \theta in [\pi/4,\pi]$
Io dal disegno avrei imposto come condizioni $1<=\rho<=3 , \theta in [\pi/4,\pi]$
Con le tue posizioni si ha
$1\le 9\rho^2\le 9,\qquad \sen\theta\ge 0,\qquad 2\sin\theta\ge\cos\theta$
Dalla prima e la seconda trovi $1/3\le\rho\le 1,\ \theta\in[0,\pi]$. Dalla tersa si ha
$2\sin\theta-\cos\theta\ge 0$ e poiché $\sin\theta\ge 0$, dividendo per esso si ha $2-1/{\tan\theta}\ge 0$ e quindi ${2t-1}/t\ge 0$ essendo $t=\tan\theta$. Risolvendo la disequazione rispetto a $t$ si trovano le soluzioni $t\le 0,\ t\ge 1/2$ e quindi
$\tan\theta\le 0,\ \tan\theta\ge 1/2$ da cui $\theta\in(\pi/2,\pi]\cup[\arctan(1/2),\pi/2)$
Alla fine, una semplice considerazione sul fatto che se $\theta=\pi/2$ allora $2\sin\pi/2-\cos\pi/2=1\ge 0$ ti permette di affermare che $\theta\in[\arctan(1/2),\pi]$.
$1\le 9\rho^2\le 9,\qquad \sen\theta\ge 0,\qquad 2\sin\theta\ge\cos\theta$
Dalla prima e la seconda trovi $1/3\le\rho\le 1,\ \theta\in[0,\pi]$. Dalla tersa si ha
$2\sin\theta-\cos\theta\ge 0$ e poiché $\sin\theta\ge 0$, dividendo per esso si ha $2-1/{\tan\theta}\ge 0$ e quindi ${2t-1}/t\ge 0$ essendo $t=\tan\theta$. Risolvendo la disequazione rispetto a $t$ si trovano le soluzioni $t\le 0,\ t\ge 1/2$ e quindi
$\tan\theta\le 0,\ \tan\theta\ge 1/2$ da cui $\theta\in(\pi/2,\pi]\cup[\arctan(1/2),\pi/2)$
Alla fine, una semplice considerazione sul fatto che se $\theta=\pi/2$ allora $2\sin\pi/2-\cos\pi/2=1\ge 0$ ti permette di affermare che $\theta\in[\arctan(1/2),\pi]$.
A,b non sono i fuochi, sono i punti di intersezione con gli assi...
Il ragionamento di ciampax non fa una piega così, ma se noti anche Lorin dal disegno trova quei valori di $\theta$ che anche io ho impostato... Quindi qualcosa non torna, perchè ancora meglio sono le condizioni di Lorin, perchè li prendi precise dal disegno...
Il ragionamento di ciampax non fa una piega così, ma se noti anche Lorin dal disegno trova quei valori di $\theta$ che anche io ho impostato... Quindi qualcosa non torna, perchè ancora meglio sono le condizioni di Lorin, perchè li prendi precise dal disegno...
@Lorin: sarebbe $\pi/4$ se fosse una circonferenza. 
Ok allora considerando la tua soluzione ti chiedo un'ultima cosa... Non ho ben capito il cambiamento di variabile... Come faccio a trovare il cambiamento più corretto??? Quello che mi aiuta a risolvere meglio l'esercizio???
"Mito125":
Ok allora considerando la tua soluzione ti chiedo un'ultima cosa... Non ho ben capito il cambiamento di variabile... Come faccio a trovare il cambiamento più corretto??? Quello che mi aiuta a risolvere meglio l'esercizio???
Bella domanda... avessi una bella risposta mi farebbero Ministro dell'Università dell'Universo!
Scherzi a parte, un metodo standard non c'è. Di solito l'esperienza aiuta molto, anche se alcune dritte ci sono.
Ad esempio, quando il dominio dipende dai quadrati di due variabili (ad esempio $x,y$) e dall'altra variabile al grado 1, di solito è meglio usare coordinate cilindriche (o ellittiche, cioè quelle in cui $x=a\rho\co t,\ y=b\rho\sin t$ descrivono una ellisse) piuttosto che quelle sferiche.
Un'altra cosa fondamentale e riuscire a disegnare il dominio relativo alle variabili più complesse o, per meglio dire, relativo alle variabili non normalizzate (cioè quella che, facendo i calcoli ad occhio, varia in un intervallo numerico): questo permette di determinare, anche con l'aiuto dei grafici, le giuste limitazioni.
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