Dominio integrale doppio

[Anglosax12]

fresco fresco inizio subito a rompervi le palle con una domanda... sto studiando un integrale doppio, ad occhio abbastanza semplice, tuttavia ho qualche problemino nel ricavare il dominio

\( \int \int_D x\ \text{d} x \text{d} y \)

dove \( \text{D}= \ 0\leq\text{y}\leq 2x\ , x^2 + (y-1)^2 \leq 1 \)

vi scrivo qui il mio ragionamento

disegnando il dominio si trova facilmente che y é compresa tra x=0 e la retta y=2x che interseca la circonferenza di centro (0,1) . per semplificare dunque posso passare in coordinate polari

e quindi ottengo

$\{(x = \rhocos\theta) , (y= 1+\rhosen\theta):}$

con \( 0\leq \rho\leq 1\)

e \( 0\leq \theta\leq ?\)

non riesco a capire qual e l estremo dell'intervallo in cui theta e compreso...

ho provato a trovare i punti di intersezione tra la retta e la circonferenza... e precisamente sono \( x=0 , y=0 \ e \ x=4/5 , y=8/5\) pero in ogni caso sarei bloccato qui...

grazie anticipatamente

[Brancaleone1]

"Anglosax12":fresco fresco inizio subito a rompervi le palle con una domanda... sto studiando un integrale doppio, ad occhio abbastanza semplice, tuttavia ho qualche problemino nel ricavare il dominio

\( \int \int_D x\ \text{d} x \text{d} y \)

dove \( \text{D}= \ 0\leq\text{y}\leq 2x\ , x^2 + (y-1)^2 \leq 1 \)

vi scrivo qui il mio ragionamento

disegnando il dominio si trova facilmente che y é compresa tra x=0 e la retta y=2x che interseca la circonferenza di centro (0,1) . per semplificare dunque posso passare in coordinate polari

e quindi ottengo

$\{(x = \rhocos\theta) , (y= 1+\rhosen\theta):}$

Fin qui tutto bene

"Anglosax12":con \( 0\leq \rho\leq 1\)

Perché? Nel dominio considerato $rho$ non è mai uguale a $0$.
Controlla meglio

[Lory314]

Ti propongo la mia idea: per me è più facile utilizzare le coordinate polari non traslate. Imponendo la condizione individuata dalle rette un intervallo per $\theta$ e imponendo la condizione della circonferenza un intervallo per $\rho$ che dipende dal $\sin\theta$.