Dominio in $ RR^3 $ "facile"

[giowre92]

Salve a tutti, sono alle prese con un semplice dominio nello spazio che mi sta creando però qualche problema, avendo la soluzione del suddetto esercizio.
$ D={(x,y,z) in RR^3 t.c. 2sqrt(x^2+y^2)<=z<=1+x^2+y^2 $ .

Su questo dominio devo effettuare un integrale, che non cito perché non è quello il mio problema. Data la frorma del dominio e dela funzione integranda mi viene suggerito un passaggio a coordinate polari :
$ x=rhocostheta, y=rho sin theta $ . Nel piano xy la disequazione diventa : $ 2rho<=1+rho^2 rarr(rho-1)^2>=0 $

e la soluzione proposta mi dice che da questa disequazione si evince che $ 0<=rho<=1 $ .

Ci sto ragionando da un po' ma sono sempre più convinto che $ 0<=rho<=oo $ , poich<è la disequazione vale per ogni valore reale. Qualcuno mi spiega brevemente dove sbaglio a ragionare? Cavolo non capisco perché mi sono impuntato su questa cosa ma non riesco a uscirne .

Grazie a tutti in anticipo.

[giowre92]

è possibile che il prof abbia sbagliato più volte cioè, nonostante abbia letto e riletto questa espressione abbia persistito nel dire che $ 0<=rho<=1 $ ?

[dissonance]

Hai ragione, c'è un errore. O il prof voleva dire \(z\le 1-x^2-y^2\), oppure si è scordato di aggiungere la condizione \(x^2+y^2\le 1\). Ci potevi arrivare anche tu; invece di ragionare solo sulla disequazione, prova a fare un disegno. Nel piano \(\rho z\), dove \(\rho >0\), la regione su cui devi integrare è compresa tra la parabola \(z=1+\rho^2\) e la retta \(z=2\rho\). Queste due curve sono tangenti in \(\rho=1\).