Dominio funzioni in 2 variabili
Ho iniziato da poco lo studio di analisi 2 , vorrei capire qualcosa in più del dominio di funzioni in due variabili. Qualcuno me lo spiega (anche con numerosi esempi)??? Sono alle prime armi....grazie
Risposte
Che testo di Analisi 2 utilizzi? Lì non ci sono esempi?
Ciao merlino, suppongo che tu per dominio intenda insieme di definizione...
Come per le funzioni di una variabile (da $RR$ in $RR$) l'insieme di definizione è un sottoinsieme $X$ di $RR$ (quindi un insieme di punti della retta reale), per le funzioni di due variabili (da $RR^2$ in $RR$) questo è un sottoinsieme del piano, ossia di $RR^2$.
Quindi non incontrerai più insiemi del tipo
\[\{x\in \mathbb{R} : x \neq 0 \}=(-\infty, 0)\cup (0,\infty)\]
bensì insiemi come
\[\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2-1<0\}\]
che è l'insieme dei punti interni alla circonferenza di raggio unitario centrata nell'origine.
Un paio di esempi.
Prendiamo $f(x,y)=\log(y-x)$. Come ben sai, affinché il $\log$ esista il suo argomento dovrà essere positivo. Dunque dev'essere
\[y-x>0\implies y>x\]
L'insieme di definizione di $f$ è l'insieme dei punti che si trovano nella parte di piano al di sopra della retta di equazione $y=x$.
Prendiamo $g(x,y)=\sqrt{2-x^2-y^2}/(x^2+y^2)$. Devono essere
\[\begin{cases}
2-x^2-y^2\geq 0\\
x^2+y^2 \neq 0
\end{cases}
\implies
\begin{cases}
x^2+y^2 \leq 2\\
(x,y)\neq (0,0)
\end{cases}
\]
Pertanto cui l'insieme di definizione $G$ di $g$ è
\[G=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x^2+y^2\leq 2\}\setminus{(0,0)}\]
Disegnandolo verifichi che è $G$ è l'insieme dei punti non esterni (quindi sia quelli interni che quelli sulla cosiddetta frontiera) alla circonferenza di raggio $\sqrt{2}$ centrata nell'origine, escluso il punto $(0,0)$ (o, se preferisci, $G$ è il cerchio di raggio di raggio $\sqrt{2}$ privato del centro $(0,0)$).
Nulla di eccezionale come vedi
basta prendere la mano...Ciao 
PS: rileggendomi mi accorgo che forse potrei confonderti le idee circa insieme di definizione e domino...molto spesso i termini vengono utilizzati per indicare lo stesso oggetto (specie da noi "Ingegneri"), ma non sono assolutamente la stessa cosa...
Come per le funzioni di una variabile (da $RR$ in $RR$) l'insieme di definizione è un sottoinsieme $X$ di $RR$ (quindi un insieme di punti della retta reale), per le funzioni di due variabili (da $RR^2$ in $RR$) questo è un sottoinsieme del piano, ossia di $RR^2$.
Quindi non incontrerai più insiemi del tipo
\[\{x\in \mathbb{R} : x \neq 0 \}=(-\infty, 0)\cup (0,\infty)\]
bensì insiemi come
\[\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2-1<0\}\]
che è l'insieme dei punti interni alla circonferenza di raggio unitario centrata nell'origine.
Un paio di esempi.
Prendiamo $f(x,y)=\log(y-x)$. Come ben sai, affinché il $\log$ esista il suo argomento dovrà essere positivo. Dunque dev'essere
\[y-x>0\implies y>x\]
L'insieme di definizione di $f$ è l'insieme dei punti che si trovano nella parte di piano al di sopra della retta di equazione $y=x$.
Prendiamo $g(x,y)=\sqrt{2-x^2-y^2}/(x^2+y^2)$. Devono essere
\[\begin{cases}
2-x^2-y^2\geq 0\\
x^2+y^2 \neq 0
\end{cases}
\implies
\begin{cases}
x^2+y^2 \leq 2\\
(x,y)\neq (0,0)
\end{cases}
\]
Pertanto cui l'insieme di definizione $G$ di $g$ è
\[G=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x^2+y^2\leq 2\}\setminus{(0,0)}\]
Disegnandolo verifichi che è $G$ è l'insieme dei punti non esterni (quindi sia quelli interni che quelli sulla cosiddetta frontiera) alla circonferenza di raggio $\sqrt{2}$ centrata nell'origine, escluso il punto $(0,0)$ (o, se preferisci, $G$ è il cerchio di raggio di raggio $\sqrt{2}$ privato del centro $(0,0)$).
Nulla di eccezionale come vedi
basta prendere la mano...Ciao PS: rileggendomi mi accorgo che forse potrei confonderti le idee circa insieme di definizione e domino...molto spesso i termini vengono utilizzati per indicare lo stesso oggetto (specie da noi "Ingegneri"), ma non sono assolutamente la stessa cosa...
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