Dominio funzione (serie di potenze)
Ciao a tutti,
Vi volevo chiedere una info di carattere teorico.
Parlando di serie di funzioni (o più in generale di serie di potenze),
che differenza c'è tra insieme di convergenza e dominio della funzione serie?
Ho notato he parlando di dominio, in questo caso subentra il concetto di convergenza della serie.
Ringrazio chiunque sappia chiarirmi le idee!
Vi volevo chiedere una info di carattere teorico.
Parlando di serie di funzioni (o più in generale di serie di potenze),
che differenza c'è tra insieme di convergenza e dominio della funzione serie?
Ho notato he parlando di dominio, in questo caso subentra il concetto di convergenza della serie.
Ringrazio chiunque sappia chiarirmi le idee!
Risposte
Ciao Claudio Nine,
?
Beh, facciamo un esempio semplice, la serie geometrica:
$f(x) = 1/(1 - x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} x^n $
L'insieme di convergenza è $|x| < 1 $, mentre il dominio della funzione $f(x) $ è $D = \RR - {1} $
"CLaudio Nine":
Parlando di serie di potenze (o più in generale di serie di potenze)
?
"CLaudio Nine":
che differenza c'è tra insieme di convergenza e dominio della funzione serie?
Beh, facciamo un esempio semplice, la serie geometrica:
$f(x) = 1/(1 - x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} x^n $
L'insieme di convergenza è $|x| < 1 $, mentre il dominio della funzione $f(x) $ è $D = \RR - {1} $
"pilloeffe":
Ciao Claudio Nine,
[quote="CLaudio Nine"]Parlando di serie di potenze (o più in generale di serie di potenze)
?
"CLaudio Nine":
che differenza c'è tra insieme di convergenza e dominio della funzione serie?
Beh, facciamo un esempio semplice, la serie geometrica:
$f(x) = 1/(1 - x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} x^n $
L'insieme di convergenza è $|x| < 1 $, mentre il dominio della funzione $f(x) $ è $D = \RR - {1} $[/quote]
Mi sembra di aver capito che innanzitutto si stabilisce il raggio di convergenza, ed in seguito, a seconda di come si pone la funzione nell'insieme di convergenza, si stabilisce il dominio.
E' corretto?
"pilloeffe":
Ciao Claudio Nine,
[quote="CLaudio Nine"]Parlando di serie di potenze (o più in generale di serie di potenze)
?
"CLaudio Nine":
che differenza c'è tra insieme di convergenza e dominio della funzione serie?
Beh, facciamo un esempio semplice, la serie geometrica:
$f(x) = 1/(1 - x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} x^n $
L'insieme di convergenza è $|x| < 1 $, mentre il dominio della funzione $f(x) $ è $D = \RR - {1} $[/quote]
Mi sembra di aver capito che innanzitutto si stabilisce il raggio di convergenza, ed in seguito, a seconda di come si pone la funzione nell'insieme di convergenza, si stabilisce il dominio.
E' corretto?
"CLaudio Nine":[/quote][/quote]
[quote="pilloeffe"]Ciao Claudio Nine,
[quote="CLaudio Nine"]Parlando di serie di potenze (o più in generale di serie di potenze)
?
Pardon, volevo scrivere "parlando di serie di funzioni (o più in generale di serie di potenze)"
"CLaudio Nine":
Ciao a tutti,
Vi volevo chiedere una info di carattere teorico.
Parlando di serie di funzioni (o più in generale di serie di potenze),
che differenza c'è tra insieme di convergenza e dominio della funzione serie?
È una domanda malposta, come quasi tutte quelle che coinvolgono la parola "dominio". Vedi esempio di pilloeffe, ovvero \[\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac{1}{1-x};\]
l'insieme di convergenza della serie è \((-1, 1)\), ma il "dominio della funzione serie" può essere interpretato come \(\mathbb R\setminus \{1\}\). Solo che, per dirlo, abbiamo dovuto calcolare esplicitamente la somma, e questo non è sempre possibile. Se non avessimo saputo calcolare la somma, l'unica interpretazione possibile di "dominio della funzione somma" sarebbe stata \((-1, 1)\).
"dissonance":
[quote="CLaudio Nine"]Ciao a tutti,
Vi volevo chiedere una info di carattere teorico.
Parlando di serie di funzioni (o più in generale di serie di potenze),
che differenza c'è tra insieme di convergenza e dominio della funzione serie?
È una domanda malposta, come quasi tutte quelle che coinvolgono la parola "dominio". Vedi esempio di pilloeffe, ovvero \[\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac{1}{1-x};\]
l'insieme di convergenza della serie è \((-1, 1)\), ma il "dominio della funzione serie" può essere interpretato come \(\mathbb R\setminus \{1\}\). Solo che, per dirlo, abbiamo dovuto calcolare esplicitamente la somma, e questo non è sempre possibile. Se non avessimo saputo calcolare la somma, l'unica interpretazione possibile di "dominio della funzione somma" sarebbe stata \((-1, 1)\).[/quote]
Interessante. Avevo proprio bisogno di questo chiarimento.
Vi ringrazio davvero!
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