Dominio funzione integrale e Teorema Fondamentale
Ciao, ho il seguente dubbio:
Se la funzione integranda [tex]f(t)[/tex] di una funzione integrale [tex]\int_0^x f(t)\,dt[/tex] è continua su [tex]\mathbb{R}[/tex], allora posso giustificare il fatto che la funzione integrale sia derivabile su tutto [tex]\mathbb{R}[/tex] attraverso il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale? Quest'ultimo nel suo enunciato parla di funzioni [tex]f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}[/tex], ma quindi vuole solo funzioni continue limitate nel dominio o vanno bene anche quelle continue su tutto [tex]\mathbb{R}[/tex]?
Se la funzione integranda [tex]f(t)[/tex] di una funzione integrale [tex]\int_0^x f(t)\,dt[/tex] è continua su [tex]\mathbb{R}[/tex], allora posso giustificare il fatto che la funzione integrale sia derivabile su tutto [tex]\mathbb{R}[/tex] attraverso il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale? Quest'ultimo nel suo enunciato parla di funzioni [tex]f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}[/tex], ma quindi vuole solo funzioni continue limitate nel dominio o vanno bene anche quelle continue su tutto [tex]\mathbb{R}[/tex]?
Risposte
Se una funzione è continua su tutto $RR$ vuol dire che su ogni intervallo $[a,b]\subset RR$ è limitata. Ovviamente dovresti spiegare cosa intendi per "derivata per $x\to\infty$, ma sostanzialmente il teorema fondamentale ti assicura l'esistenza della derivata della funzione integrale su tutto l'asse reale.
Perché bisogna spiegare "derivata per $x \rightarrow \infty$"? Cioè: perché vuoi considerare (definire) quella cosa?
E lì l'inghippo: affinché tu possa estendere il teorema anche su insiemi di integrazioni infiniti, dovresti spiegare come è definita la funzione integrale all'infinito (integrabilità impropria) e quindi, per dualità, capire cosa dovrebbe accadere alla derivata della funzione integrale (che sarebbe l'integranda $f$) per $x\to \infty$. Chiaro?
Non mi è chiaro: la funzione la definisci per ogni $x$ reale come $\int_0^xf(t)dt$. Per definirla su un insieme infinito non devo per forza definirla all'infinito. Dov'è che serve l'integrabilità impropria?
Tu stai chiedendo la validità del teorema fondamentale quando $x\to \infty$. Ora, supponendo che esso valga, puoi fare questo ragionamento: se $F$ è una primitiva di $f$ allora (usando in modo "formale") il Teorema fondamentale dovresti dire che
$\int_0^\infty f(t)\ dt=F(\infty)-F(0)$
Quello che devi fare per poter affermare questo fatto, in pratica, è capire se è possibile definire (e come) $F(\infty)$ (che qui penso come un semplice "simbolo"). E' chiaro ora? Ovviamente la cosa viene da sé nel momento in cui, essendo $f$ continua, essa risulta anche integrabile ad infinito. Ma se Quell'integrale che ho scritto prima diverge, sei ancora certo di poter definire "correttamente" il Teorema? (la risposta ovviamente è sì perché stai usando funzioni continue, però bisogna specificare che...)
$\int_0^\infty f(t)\ dt=F(\infty)-F(0)$
Quello che devi fare per poter affermare questo fatto, in pratica, è capire se è possibile definire (e come) $F(\infty)$ (che qui penso come un semplice "simbolo"). E' chiaro ora? Ovviamente la cosa viene da sé nel momento in cui, essendo $f$ continua, essa risulta anche integrabile ad infinito. Ma se Quell'integrale che ho scritto prima diverge, sei ancora certo di poter definire "correttamente" il Teorema? (la risposta ovviamente è sì perché stai usando funzioni continue, però bisogna specificare che...)
Ma io non sto chiedendo quello: io sto chiedendo che valga per ogni $x$ reale. Non voglio fare limiti
Ma scusa, se deve valere per ogni $x\in RR$ secondo te non devi verificare cosa accade quando $x\to\infty$? 
No, per definire la funzione integrale in $x$ mi basta considerare $f$ su $[0,x]$. Per derivare la funzione integrale in $x$ mi basta considerarla su $[x-h,x+h]$.
Ok, forse non mi sono spiegato bene. So benissimo come vanno definite le cose, e via discorrendo (la insegno questa materia all'Università!). Quello che sto cercando di farti capire è la cosa seguente: è ovvio che se la $f$ è continua la sua funzione integrale $F$ sarà $C^1$. L'unico problema (formale) è capire come si comporta tale funzione all'infinito. Se $f$ è integrabile, allora non hai problemi: infatti se $\int_0^\infty f(t)\ dt=a$ allora, per definizione, è come dire che $\lim_{x\to+\infty} F(x)=a$. Ma se la $f$ non è integrabile? Cosa accade alla $F$? (Di nuovo, è una conseguenza logica di quello che vien fuori dalla definizione di funzione integrale... il problema è che devi "formalizzarlo" per poter affermare che se $f$ è continua su tutto $RR$ allora $F$ è fatta bene su tutto $RR$). Chiaro adesso?
@ciampax
Non vorrei che "piadinaro" fosse interessato alla sola proprietà $F'(x)=f(x)$, piuttosto che dare un senso anche alla scrittura $F(x)=\int_0^\x f(t)\ dt$ quando $x=+oo$. Interpretandola così, non mi sembra indispensabile la convergenza dell'integrale generalizzato. Sei d'accordo?
Non vorrei che "piadinaro" fosse interessato alla sola proprietà $F'(x)=f(x)$, piuttosto che dare un senso anche alla scrittura $F(x)=\int_0^\x f(t)\ dt$ quando $x=+oo$. Interpretandola così, non mi sembra indispensabile la convergenza dell'integrale generalizzato. Sei d'accordo?
Sicuro che è come dici tu. Quello che sottolineavo io è una cosa diversa: se $f$ è continua, a prescindere che l'integrale ad infinito converga o diverga, la $F$ è definita bene. Era questo che stavo cercando di far capire: lo so, sarò un po' pedante, ma quando si dimostra una cosa in matematica, bisogna essere certi che tutte le cose tornino.
@ciampax
Boh, continuo a non vedere l'utilità di distinguere il caso in cui converge l'integrale da quello in cui non converge.
Cioè: il fatto che possa definire $F(x)$ o meno per $x=+\infty$ in modo che tornino le cose, per me, non c'entra nulla con la definizione di $F(x)$ per $x \in \mathbb(R)$.
Cioè: il fatto che possa definire $F(x)$ o meno per $x=+\infty$ in modo che tornino le cose, per me, non c'entra nulla con la definizione di $F(x)$ per $x \in \mathbb(R)$.
"ciampax":
L'unico problema (formale) è capire come si comporta tale funzione all'infinito.
@piadinaro: Siamo d'accordo che questo nel quote non è necessario per rispondere alla domanda in questione. Ciampax aggiungeva delle informazioni in più - probabilmente perché ha letto di fretta la domanda
. Succede spesso pure a me! 
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